北京市顺义区2021届高三第一次模拟统练数学试题 Word版含答案

顺义区2021届高三第一次模拟统练

数学试卷

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）设集合，，则   

A.     B.    C.    D.

（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则

A.     B.    C.    D.

（3）在的展开式中，常数项为

A.     B.    C.     D.

（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.     B.    C.    D.

（5）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯

A．32盏       B．64盏        C．128盏        D.196盏

（6）设双曲线的方程为，若的一条渐近线的斜率为，则的离心率为

A.       B.       C.       D.

（7）已知，且，则下列不等式中不恒成立的是

A.     B.    C.     D.

（8）已知两条直线m，n和平面α，且，则“”是“”的

A.充分必要条件          B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件       D.既不充分也不必要条件

（9）在中，，则

A．       B．       C．      D.

（10）已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是

A．      B．      C．     D.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 

（11）      ．

（12）设抛物线的焦点为，则=_____；若点在抛物线上，且，则点的坐标为______．

（13）已知函数，能说明既是偶函数又在区间上单调递减的一组整数的值依次是______．

（14）已知单位向量满足，则与夹角的大小为_____；（）的最小值为______．

（15）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线 与椭圆相交于点，．给出下列三个命题：

① 存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；

② 存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；

③ 存在，使的周长最大．

其中，所有真命题的序号为__________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．

（16）（本小题满分13分）

在三棱柱中，平面，，，

是的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（17）（本小题满分14分）

函数，，的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．

（18）（本小题满分14分）

为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如下表：

注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；

2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．

假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．

（Ⅰ）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；

（Ⅱ）从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆经过点和．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C交于，两点，且坐标原点到直线的距离为．求证：以为直径的圆经过点．

（20）（本小题满分15分）

已知函数.

（Ⅰ）若,求曲线的斜率等于3的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.

（21）（本小题满分15分）

已知是无穷数列．给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；

②对于中任意项，在中都存在两项，使得.

(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列.

顺义区2021届高三第一次模拟统练

数学试卷参考答案

一.  选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）

二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)

11. ；   12. ，(前3分，后2分)；   13. （答案不唯一）；   14.  ，(前3分，后2分)；   15. ①③

三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为平面，

所以.-----------------2分

又，

平面，平面，

所以平面.-----------------4分

因为平面，

所以.-----------------5分

（Ⅱ）在三棱柱中，，

因为由平面，

所以平面.

所以，，两两垂直.

如图，以为原点，建立空间直角坐标系，------------6分

      所以，，，.

      设平面的法向量为，

      因为，，

所以 . 即.

令，则，.

所以平面的一个法向量为.-------------------9分

因为平面，

所以平面的一个法向量为.-----------------10分

所以.-----------------------------13分

所以二面角的余弦值为.

17.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题设图象知，周期，

因为，所以．---------------------------2分

而由题意知，所以．----------------4分

      因为函数的图象过点，所以．

所以．所以

又因为，所以.

故函数的解析式为.------------------7分

（Ⅱ）

---------9分

==------------------11分

因为，所以.

所以当时，即时，取到最小值，

且最小值为.---------------------------------------14分

18.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由题意知，是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为------------------------------------------2分

故此顾客是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是.--------------------------------------------4分

（Ⅱ）X的取值为0，1，2.---------------------------------5分

设事件为“从A款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，

事件为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，

且事件相互独立.

根据题意，估计为，估计为.

则 ----6分

                         ---------7分 

--------------8分

所以的分布列为：

---------------------------10分

的期望是：.----12分

（Ⅲ）.-------------------------------------------14分

19.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆经过点，所以.-------------------------1分

又因为椭圆经过点，所以，解得.------3分

所以椭圆的方程为．-----------------------------4分

（Ⅱ）由，可得.-------6分

由题意，，设，，

所以，.-----------------------8分

因为原点到直线的距离为，所以.

即.  -----------------------------------------9分

因为-----------------------10分

               ----------------11分

               ----------------------------13分

所以.即.

因此以为直径的圆过原点.-----------------------------14分

20.（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）当时，，，------------2分

设切点为，则，

解得或（舍）----------------------------------3分

所以.

切点为---------------------------------------4分

所以所求切线方程为.

即.------------------------------------5分

（Ⅱ）因为，--------------------------6分

由及定义域，令，得.-----------7分

①当，即时，

在上，所以在上单调递增.

此时在上不可能存在两个零点；-------------------9分

②当，即时，

在上，所以在上单调递减.

此时在上不可能存在两个零点；-------------------11分

③当，即时，要使在区间上恰有两个零点，

则，即，此时.

综上，实数的取值范围是.--------------------------15分

21.（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）数列不满足性质①，理由如下：----------------------2分

取数列中的，，所以.

由，解得，显然不是整数.

所以在数列中不存在，使得，

故数列不满足性质①；----------------------------------4分

（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，理由如下：--------------5分

对于中任意两项，，记，

因此，从而数列满足性质①；-----------------7分

对于中任意项，记，，

显然有，从而数列满足性质②；

综上，数列同时满足性质①和性质②  --------------------9分

（Ⅲ）是递增数列，，则，根据性质①，…,

由数学归纳法原理，可以证明

------------------------12分

另一个方面，我们用反证法证明

假设（）是中最小的不能写成的整倍数的项，

根据性质②，存在两项，使得，

我们记，可知：，

易知，

根据（）的最小性，可知道

，可以得到，与t不是正整数矛盾.

综上所述，是首项为0，公差为的等差数列.-------------15分