高中数学人教版新课标A必修41.5 函数y=Asin（ωx+ψ）教案

  函数y=Asin(ωx+φ)的图象

一、              内容归纳

１、              知识精讲：

  ⑴一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平行移动|φ|个单位长度 （得y=sin(x+φ)图）,，再把所得各点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）（得y=sin(ωx+φ)图,），再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的Ａ倍（横坐标不变）．

（若先伸缩，再平移时移多少？）

  (2)振幅Ａ、周期、相位ωx+φ、初相φ。

(3) y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=kπ+,即   k∈Z.对称中心为:(,0), k∈Z.

  (4)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的

单调递增区间是:ωx+φ∈[2 kπ-,2 kπ+], k∈Z.

单调递减区间是ωx+φ∈[2 kπ+,2 kπ+], k∈Z.

（5）y=cos(ωx+φ)也类似。

２、              重点、难点：

  函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的图象、性质。及图象与解析式间的互求。

３、              思维方法：

  数形结合，数形转化。

４、              特别提示：

  y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）中A、ω、φ对图形变换的作用。

二、问题讨论

【例1】P64(2003年春季高考·上海)已知函数

f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）

在一个周期内的图象如图所示。求直线y=

与函数f(x)图象的所有交点的坐标

.〖解〗根据图象得A=2,T=-=4π,ω=

,又由图象可得相位移为,.

即,根据条件:

,

〖思维点〗按图可求得f(x)=Asin(ωx+φ)，再求交点即可。

练习1:写出下列函数图象的解析式

（1）将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。

（2）将函数y=cosx的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位，得到所求函数的图象。

（1）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：+；倍。图象的解析式依次为： y=sinx→y=sin(x+)→y=sin().

解：所求函数图象的解析式为y=sin(),也可以写为：y=sin(x+).

（2）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：2倍；+。图象的解析式依次为：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+).

 解：所求函数图象的解析式为y=cos2(x+)也可以写为：y=cos(2x+)。

〖思维点拨〗此类问题关键是A、ω、φ对图形变换的作用。

练习2:若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图形沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到曲线与的图象相同，求f(x)的表达式（说明具体过程）

〖解〗                           

〖思维点拨〗本题要注意的是图形变换也是互逆的，

但要注意移的方向。

【例2】(P62)(2002年高考．全国文史类)如图某地

一天从６时至１４时的温度变化曲线近似满足

函数y=Asin(ωx+φ)+b

（１）       求这段时间的最大温差．

（２）       写出这段曲线的函数解析式．

〖解〗（１）由图示，这段时间内的最大温差是３０－１０＝２０（０Ｃ）

（2）图中从６时到１４时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图

象、

，，由图示A=（30-10）/2=10，b=（30+10）/2=20，

这时，将点（6，10）代入上式，可取

综上所求的解析式为

〖思维点拨〗本题虽是实际问题，但实质还是y=Asin(ωx+φ)+b由图得解析式问题。

例3 P64

函数的最小正周期是-------

练习:已知

（１）       若x∈R，求f(x)的单调递增区间；

（２）       若时，f(x)的最大值为4，求的值

〖解〗(1)由

使

,解得,

(2)由f(x),因此f(x)在上的最大值为+3，使+3=4,   =1.

例4: .( 05全国（1）)设函数图像的一条对称轴是直线

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调增区间；

解：（Ⅰ）的图像的对称轴，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由题意得

所以函数

〖思维点拨〗利用三角函数的性质。

二、              课堂小结

１、              对于三角函数的变换问题，要注意y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)与

y=sinωx→y=sin(ωx+φ)的区别，不同名的要先化为同名。

2、由图象求解析式  y=Asin(ωx+φ)+b时一般先确定平衡位置，再确定A，ω的大小，确定φ时要先一点代入。

３、              研究高次或多个三角函数组合在一起的函数的性质时，一般先将原函数化成

y=Asin(ωx+φ)+b的形式后再研究。

三、作业布置

四、课后体会.