高中人教版新课标A1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）教学设计

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

复习正弦函数的图象和性质

教师提出问题，学生回答

为学生认识正弦型函数奠定基础

概念形成及应用举例

通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。

在函数中，点P旋转一周所需要的时间，叫做点P的转动周期。在1秒内，点P转动的周数，叫做转动的频率。与轴正方向的夹角叫做初相。

例1画出函数y=2sinx  xR；y=sinx  xR的图象（简图）

解：画简图，我们用“五点法”

∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π

∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：

作图：

利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝sinx，x∈R。的简图

(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)

(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)

    一般地，函数的值域是最大值是，最小值是，由此可知，的大小，反映曲线波动幅度的大小。因此也称为振幅。

引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：

1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的

2．它的值域[－A, A] ，最大值是A, 最小值是－A

3．若A<0 可先作y=－Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折

称为振幅，这一变换称为振幅变换

例2  画出函数

y＝sin(x＋)，x∈R，y＝sin(x－)，x∈R的简图

解：列表

描点画图：

引导,观察,启发：

(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到

(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到

一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换

例3 画出函数y=sin2x  xR；y=sinx  xR的图象（简图）

  解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π

我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ]上作图,列表：

作图：

函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π

我们画［0，4π］上的简图，列表：

 (1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的

(2)函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到

引导, 观察启发: 与y=sinx的图象作比较

1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）

2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图

ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换

例4  画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图

解：(五点法)由T＝，得T＝π  列表：

描点画图：

这种曲线也可由图象变换得到：即：

y＝sinx                y＝sin(x＋)

                  y＝sin(2x＋)

一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)

另外，注意一些物理量的概念:

A ：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；

ωx＋：称为相位x＝0时的相位，称为初相

评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象

课堂练习：

1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为(     )

Ay＝sin(x＋)             By＝sin(x＋)

Cy＝sin(x－)              Dy＝sin(x＋)－

答案：A

2函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到 (  ) 答案：B

A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍

B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍

C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍

D向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍

3.已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为(     )

Ay＝2sin(3x－)             By＝2sin(3x＋)

Cy＝2sin(＋)             Dy＝2sin(－)

解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点(，2)和点(，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：

解得    答案：B

由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中

小结  平移法过程：

1.教师演示观缆车旋转过程，指导学生认识和感受。

2.教师提问：通过分析，对观缆车的旋转有什么影响？

3.学生回答。

4.教师引导归纳。

函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；称为相位；时的相位φ称为初相。

5.学生在黑板上利用“五点法”画图。

教师提问：y=2sinx  xR和y=sinx  xR的图象与的图象间的关系怎样？

学生回答：(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)

(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)

教师提问：一般地

y=Asinx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？

学生回答：y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的

学生在黑板上利用“五点法”画图。

教师提问：y＝sin(x＋)，和y＝sin(x－)的图象与的图象间的关系怎样？

学生回答：(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到

(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到

教师提问：一般地

y＝sin(x＋)的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？

学生回答：一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

学生在黑板上利用“五点法”画图。

教师提问：y=sin2x和y=sinx的图象与的图象间的关系怎样？

学生回答：(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的

(2)函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到

教师提问：一般地

y=sinωx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？

学生回答：函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）

学生在黑板上利用“五点法”画图。

教师提问：y＝3sin(2x＋)，的图象与的图象间的关系怎样？

学生回答：由y＝sinx左移个单位，得到y＝sin(x＋)的图象，纵坐标不变，横坐标变为倍，得到y＝sin(2x＋)的图象，纵坐标变为3倍，横坐标不变，得到的图象。

教师提问：一般地y＝Asin(ωx＋)的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？

学生讨论并回答

学生自己完成。

1.要求学生通过实例，将问题转化为数学问题，引出数学概念，培养学生数学来源于实践又指导实践的辨证唯物主义观点及勇于探索的创新精神。

2.通过作图，使学生加强对“五点”法的理解。

3.观察图象间的关系，通过对比，探求有关性质以及图象间的变换。4. 鼓励学生大胆猜想，使学生将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。

5.培养学生由特殊到一般的解决问题方法，以及归纳概括的能力。

巩固本节课所学习内容

布置作业

作业：P .49.练习A1.2.3.4.P50.练习B.1.2.3.4.5

复习回顾