人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式教案及反思

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复

习

引

入

复习正弦曲线、三角函数定义、正弦线

教师提问，学生回答。

为本节课的讲解新课作准备。

概

念

形

成

       由正弦函数的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数 还有以下重要性质：

 (1)定义域：

正弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

分别记作：

y＝sinx，x∈R

(2)值域

因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线和之间，所以｜sinx｜≤1，即

－1≤sinx≤1也就是说，正弦函数的值域都是［－1，1］

正弦函数y=sinx,x∈R

①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最大值1

②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1

 (3)周期性

由sin(x＋2kπ)＝sinx  (k∈Z)知：

正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的当自变量的值每增加或减少的整数倍时，正弦函数的值重复出现。在单位圆中，当角的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。这种性质称为三角函数的周期性。

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期

注意：

1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx   2,4,…,－2,－4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

 (4)奇偶性

由sin(－x)＝－sinx

可知：y＝sinx为奇函数

因此正弦曲线关于原点O对称

(5)单调性

从y＝sinx， x∈［－］的图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

教师提问：定义域、值域分别是什么？并说明理由。

学生回答：从函数图象和正弦函数定义以及正弦线的知识，可以知道定义域为x∈R，值域［－1，1］。

教师提问：任意一个周期函数是否都有最小正周期？

学生回答：否。反例：

教师提问：函数奇偶性的定义及图象特征？学生回答。

教师提问：正弦函数具有什么样的性质？

学生回答。

教师提问：从正弦函数的图象观察正弦函数具有什么样的单调性？

学生回答。

1.希望学生不仅能够知道正弦函数的定义域和值域，而且能够体会知识间的联系，知其然更知其所以然。

2.通过讨论和提问使学生更深刻理解周期的定义。

应

用

举

例

例1：设，求的取值范围。

解：因为

    所以

    由此解得

例2： 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么

 1y＝sin2x，x∈R      2 y=sin(3x+)－1

解：

1令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝

由2x＝Z＝＋2kπ，

得x＝＋kπ

即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝

函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1

2 当3x+=2k+即 x= (kZ)时y的最大值为0

例3：求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+)    2 y=3sin(+)   3 y=|sinx|

解：1 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz   即：f (2+z)=f (z)

f [(x+2)+ ]=f (x+)    ∴周期T=2

        2令z=+ 则

f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)=3sin()=f (x+4)

∴周期T=4  

3    T=

一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)（其中）的周期，下一

节将进一步研究这类函数的性质。

例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0

(1)sin(－)－sin(－)；

(2)(－)－(－)．

解：(1)∵－＜－＜－＜．

且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数

∴sin(－)＜sin(－)

即sin(－)－sin(－)＞0

(2)sin(－)＝－sin＝－sin=－sin=－sin

sin(－)＝－sin＝－sin

∵0＜＜＜

且函数y＝sinx，x∈［0，］上是增函数

∴sin＜sin

－ sin－ sin

∴sin(－)－sin(－)＜0

例5．函数y=ksinx+b的最大值为2,  最小值为－4，求k,b的值

解：当k>0时

当k<0时 （矛盾舍去）  ∴k=3  b=－1

学生独立完成，并请两位同学板演。由学生和教师共同点评。对于表格规范，图象正确的学生给予鼓励和表扬，对于有不足的学生给予指导。

巩固本节课所学知识。

归

纳

小

结

小结：本节课学习了正弦函数的性质，请大家总结一下理解和记忆的方法。

教师归纳本节课内容

学生回顾本节课内容。

布

置

作

业

P.43，44练习A，练习B

复习本节课内容