高中数学第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式第一课时教学设计

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复

习

引

入

1、正弦函数的图象——解决的方法：用单位圆中的正弦线（几何画法）。

2、 “五点描图法”作图。

3、

1、教师提问，学生回答；

2、学生在草稿纸上推理。

1、引导学生复习巩固“五点描图法”作图；

2、回顾诱导公式；

3、回顾平移。

概

念

形

成

1、利用五点描图法画出的图象。

 2、图象向两边延伸

于是得到余弦函数的图象。余弦函数的图象叫做余弦曲线。

通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：(0，1)，(，0)、(π，－1)，(，0)，(2π，1).

3、类比正弦函数的性质及余弦函数的图象，得余弦函数图象的性质：

(1)  定义域： y=cosx的定义域为R

(2) 值域：

  ①引导回忆单位圆中的三角函数线，结论： |cosx|≤1  （有界性）

   再看正弦函数线（图象）验证上述结论：值域为[－1，1]

②对于y=cosx

当且仅当x=2k  kZ时 ymax=1

当且仅当x=2k+  kZ时 ymin=－1

③观察R上的y=cosx的图象可知

当2k－<x<2k+(kZ)时 y=cosx>0

当2k+<x<2k+(kZ)时 y=cosx<0

(3).周期性：

（观察图象）

①余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

②规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

③这个规律由诱导公式 cos(2k+x)=cosx也可以说明余弦函数的最小正周期是T=2π.

  (4). 奇偶性

   由诱导公式:cos(－x)=cosx 得余弦函数是偶函数。

  (5).单调性

  余弦函数在每一个闭区间[2kπ, 2kπ+π],k∈Z上是减函数；

在每一个闭区间[2kπ+π, 2kπ+2π],k∈Z上是增函数。

1、 学生自己动手描点作图，请1到两个学生到黑板上演排；

2、引导学生观察图形的特征，并提炼出特征；

3、教师给出启发，诱导学生类比正弦函数的性质，得到余弦函数的性质，并分析每个性质成立的原因等。

1、培养学生动手作图的能力；

2、培养学生观察能力和总结问题的能力；

3、培养学生类比得结论的能力；

应

用

举

例

例1、求下列函数的最值

     （1）y=－9cosx+1；   

（2）

解：(1) ∵ －1≤cosx≤1，

∴ －8≤－3cosx+1≤10.

即, .

(2) ∵ －1≤cosx≤1，

∴ 当cosx=时，，

当cosx=－1时，.

练习：课本A组练习4。

例2、判断下列函数的奇偶性

     （1）y=cosx+2；    

（2）y=cosxsinx.

解：（1）f(－x)=cos(－x)+2

              =cosx+2=f(x),

∴ 函数y=cosx+2是偶函数.

(2) f(－x)=cos(－x)sin(－x)

         =－cosxsinx=－f(x).

    ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.

例3、求函数的最小正周期

解：.∴ 最小正周期是6π

练习：课本练习A 5

小结：

例4、求函数的单调区间

（解答由学生自主完成并有学生评价。）

1、学生分析解答；

2、学生相互评价；

3、先引导学生分析问题，在引导学生回忆正弦函数相关的性质，然后得到关于周期的一般性结论。

1、考察学生对基本性质的掌握；

2、让学生体验成功的快乐，利于培养学生学习数学的兴趣；

3、通过学生之间的交互活动，可以培养学生的协作精神；

4、学生用自己的语言来表达对知识的认识，反映了学生获取知识的自然过程。

归

纳

小

结

请同学们观察正余弦函数的图象，讨论解决以下几个问题，稍后请两组各推选一名代表作总结。

（1）       定义域分别是什么？

（2）       值域是什么？最大值、最小值是多少，此时自变量x等于什么？

（3）       奇偶性如何？为什么？

（4）       单调性如何？它有什么特殊的地方？为什么会有这种周期性？（图象本身或者说函数本身就存在周期性）

    （5）它与其他函数有什么不一样的性质。

让学生提问，学生来回答（可以一小组之间的对抗赛的形式展开）

1、自己归纳总结，寻找知识建立的支点，利于学生对知识的掌握；

2、通过学生的自我总结，可以帮助学生逐渐养成和提升抽象问题的能力。

布

置

作

业

作业：课本  练习A  4、5

            练习B  2、3

      课后笔记总结。

学生课后独立自主完成，教师批改讲评。

复习巩固知识，培养学生的实战能力。