高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数教案

教学目的：

知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；

能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；

德育目标：培养认真学习的精神；

教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；

教学难点：正切函数的性质。

授课类型：新授课

教学模式： 启发、诱导发现教学.

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

问题：正弦曲线是怎样画的？

正切线?

练习正切线，画出下列各角的正切线：

．

下面我们来作正切函数和余切函数的图象．

二、讲解新课：  

1．正切函数的定义域是什么？         

2．正切函数是不是周期函数？

   ，

   ∴是的一个周期。

   是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作，的图象

 说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；

（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

，且的图象，称“正切曲线”。

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质   引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：；

（2）值域：R

观察：当从小于，时，

         当从大于，时，。

（3）周期性：；

（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。

5.余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：

——即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象

定义域：

值域：R，

当时，当时

周期：         

奇偶性：奇函数

单调性：在区间上函数单调递减

6.讲解范例：

例1比较与的大小

解：，，

又：内单调递增，

例2讨论函数的性质

略解：定义域：

值域：R           奇偶性：非奇非偶函数

单调性：在上是增函数

图象：可看作是的图象向左平移单位

例3求函数y＝tan2x的定义域

解：由2x≠kπ＋，(k∈Z)

得x≠＋，(k∈Z)

∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝

例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0

解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜

结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)

例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小

解：∵90°＜135°＜138°＜270°

又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数

∴tan135°＜tan138°

三、巩固与练习

P．71．练习2，3，6

求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象

解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z

即x≠＋，ｋ∈Z

∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝

（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z

∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）

即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）

（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x

∴y＝tan2x的周期为．

（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图

四、小    结：本节课学习了以下内容：

1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠ (k∈Z)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的