高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:

教师提出问题：初中是如何定义角的？

师:前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们来研究任意角的三角函数.

温故知新

概念形成

1．用坐标形式表示出中所学的锐角三角函数

设点P（x,y）是锐角终边上的任意一点，记OP=r(r≠0),

则，，

2．任意角的三角函数

设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)

则P与原点的距离根据三角形的相似知识得到均为定值。

比值叫做的正弦,

记作：

比值叫做的余弦,

记作：

比值叫做的正切,

记作：

(4)角的其它三种三角函数

比值叫做的余切,

记作：

比值叫做的正割,

记作：

比值叫做的余割,

记作：

1. 以坐标原点为锐角的顶点,以Ox轴为角的始边,则角的终边落在直角坐标系的第一象限内,若设点P(x,y)始终边上的任意一点,记OP=r(r≠0),试将角的三角函数用x,y,y表示出来.

学生作图,教师在此过程中要引导学生在坐标系中做出符合锐角三角函数定义要求的直角三角形.该过程中要适时指点学生,并加强学生与学生之间的讨论与交流.

回答问题:教师通过多媒体将此过程展示给学生,明确坐标与三角函数的关系.

2. 教师提出问题:

问题1：根据刚才我们在直角坐标系中讨论的锐角三角函数，你能给出任意角的三角函数定义吗?

由学生讨论回答.

问题2: 角的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响吗？

这是一个较有思考价值的问题,教师要注意正确地引导和必要地提示,锐角三角函数的大小仅与锐角的大小有关,与直角三角形的大小无关,类似地-…

问题3: 依据函数的定义，这几个比值可以分别构成函数吗？若能构成，他们的自变量是什么？x还是y？r还是？

将初中定义的锐角三角函数放到坐标系中的讨论，指明研究函数问题的工具，完成从三角形到坐标系的转化，为后面在直角坐标系中定义任意角的三角函数搭建平台。

2．通过对比，让学生对知识进行类比、迁移及联想，树立他们勇于探索的信心。通过讨论，充分发挥学生学习的主动性

概念深化

1。角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。

2．定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没用说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上的除外），即函数的定义与α的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。

3．三角函数是以“比值”为函数值的函数

4．对于正弦函数sinα=，因为r>0所以恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域R;类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα=,因为x=0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x=0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义。

现将它们列表如下:

对于第1到第3点教师要点拨,学生思考.对于第4点教师提出问题:谈到函数,定义域要先行.在此,对三角函数的定义与要进一步地明确,确定三角函数的定义域的依据就是任意角的三角函数的定义.三角函数是以角为自变量的函数,如何去确定这些函数定义域?他们的定义域是什么?

由学生讨论回答

1．  让学生明确定义是对任意角而言的，OP是角的终边，至于是转了几圈,安什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角是任意的.

2．  使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数包含锐角三角函数.实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的,锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。

3．  让学生掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域。

应用举例

例1.已知角的终边过点P(2,-3)，求的六个三角函数值.

例2.求下列各角的六个三角函数值

（1）0

（2）π

（3）

学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导

让学生巩固六种三角函数概念，感受三角函数的定义在三角函数求值中的应用。

归纳小结

1。知识：三角函数的定义及其定义域

2．数学思想方法：数形结合思想；类比法。

让学生学会学习学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用

布置作业

层次一：教材练习A,1~3

使学生进一步巩固和应用所学知识