高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式教学设计

福建省长乐第一中学高中数学必修五《3.4基本不等式  （一）》教案

教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

教学重点：应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；

教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵

教学过程：

一、复习准备：

1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。

2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

二、讲授新课：

1. 教学：基本不等式

①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。（教师提问学生思考师生总结）

②思考：证明一般的，如果

③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，

通常我们把上式写作：

④从不等式的性质推导基本不等式：

用分析法证明：要证 (1)， 只要证 a+b        (2)， 要证（2），只要证                  a+b-       0（3）要证（3）， 只要证（    -    ）（4），  显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

⑤练习：已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

⑥探究：课本第110页的“探究”：（结论：如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.）

2. 小结：①两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。②理解 “当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。

三、巩固练习：

1. 练习：教材114页练习的第1题。

2. 作业：教材114页习题[A]组的第1题.