人教版新课标A必修42.1 平面向量的实际背景及基本概念教案

平面向量的实际背景及基本概念

吴忠高级中学    何齐明

教学目标

1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性.

2.理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模.

3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量.

4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点.

教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示.

教学难点：向量的含义.

教学过程

（一）情境创设

1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”

结果                   原因            

2.如图1，在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫由B向正东方向的D处追去，猫能否抓到老鼠？    

结果                   原因            

思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？

咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？

这些量的共同特征是什么？

（二）概念形成

观察：如图2中的三个量有什么区别？

1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量.

2.向量的表示方法

思考:物理学中如何画物体所受的力?

(1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量.    

符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，

记作.(注意起终点顺序).

(2) 字母表示法：可表示为.                 

练习. 如图4，小船由A地向西北方向航行15海里到达

B地，小船的位移如何表示？（用1cm表示5海里）

（三）理性提升

3.向量的模

向量的大小——向量长度称为向量的模. 记作：||.

强调：数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的.

4.两个特殊的向量                          

(1) 零向量——长度为零的向量，记作.         

(2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量．

5.向量间的关系

观察如图5，你认为向量之间有那些关系？

(1)平行向量——方向相同或相反的非零向量，记作∥∥.

规定： 与任一向量平行.

(2)相等向量——长度相等且方向相同的向量， 记作.

规定：.

注意： 1°零向量与零向量相等．

2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．

思考：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？

(3)共线向量——平行向量又叫做共线向量．

（四）拓展应用

例1.下列命题中，正确的是(  )

A．||=||=          B．||=||且∥=

C． =∥               D．∥||=0

例2.如图6，设O是正六边形ABCDEF的中心，

分别写出图中与向量、、相等的向量.                       

思考：

(1)与向量长度相等的向量有多少个？

(2)是否有与向量长度相等，方向相反的向量？

(3)与向量共线的向量有哪些？

例3.如图7，在45的方格图中，有一个向量，

分别以图中的格点为起点和终点作向量.

(1) 与向量相等的向量有多少个？

(2) 与向量长度相等的向量有多少个？                                       

练习巩固：P77. 1～4

（五）归纳小结

1.描述一个向量有两个指标——模、方向.

2.平行向量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，与长度无关.

3.共线向量是指平行向量,与是否真的画在同一条直线上无关.

4.向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性.