高中数学人教版新课标A必修42.1 平面向量的实际背景及基本概念学案

第1课时    向量的概念与几何运算

1．向量的有关概念

⑴ 既有       又有      的量叫向量．        

          的向量叫零向量．                的向量，叫单位向量．

⑵                   叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量        ．

⑶            且          的向量叫相等向量．

2．向量的加法与减法

⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按        法则或                  法则进行．加法满足             律和         律．

⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的          重合，连结两向量的         ，方向指向                 ．

3．实数与向量的积

⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：

① | |＝           ．

② 当＞0时，的方向与的方向        ；

   当＜0时，的方向与的方向        ；

   当＝0时，        ．

⑵ (μ)＝           ．

   (＋μ)＝           ．

   (＋)＝           ．

⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得         ．

4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得        ．

⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是        ．

例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．

解：＝－＝(＋)－＝－＋

变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（  ）

A．－＋

B．－－

C．－

D．＋

解:A

例2. 已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．

解:＝λ＋μ2－9＝(2λ＋2μ)＋(－3λ＋3μ)2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1

变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：

证明 ＋＝2，＋＝2＋＋＋＝4

例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和．

解：连NC，则；

变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．

解:＝＋，＝＋，

＝－

例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？

解：设 (∈R)化简整理得：

∵，∴

故时，三向量的向量的终点在一直线上．

变式训练4：已知，设，如果

，那么为何值时，三点在一条直线上？

解：由题设知，，三点在一条

直线上的充要条件是存在实数，使得，即，

整理得.

①若共线，则可为任意实数；

②若不共线，则有，解之得，.

综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.

1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．

2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．

3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．

4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．