人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算学案

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【学习目标】①知识与技能：

（1）       掌握实数与向量的积的定义，并理解其几何意义。

（2）       掌握实数与向量的积的，并会根据运算律熟练进行有关的计算。

（3）       理解并掌握向量共线定理，并会判断两个向量是否共线；能灵活运用向量判断点共线，线共点等。

（4）       【学习重点】实数与向量的积的定义，实数与向量的积运算律以及向量共线定理 ；

【学习难点】对向量共线的充要条件的理解和运用。

【自主学习】(一)课前回顾

如何求作两个非零向量的和向量、差向量？

 （二）情景引入，设疑激趣

        2008年全国机器人大赛中，质点P按程序指令从O地向东走了10cm到达A地，再向东走了10cm到达B地,又从B地向东走了10cm到达C地。我们已经知道，质点从O地到达C地所走的总路程为（10+10+10）cm，也可以表示为3*10cm。若要表示机器人从O地到C地的位移呢？容易知道 ==,可设为，那么位移=++。模仿实数的运算，++能不能表示成3呢？

 （三）新课讲授

 1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：（1）=___________________________________;

（2）当________________时，的方向与的方向相同；当____________时，的方向与方向相反，当_____________时，=。

2、向量数乘和运算律，设为实数。

（1）_______________________________；

（2）_____________________________；

（3）__________________________________________；

特别地（4）（-λ）____________________=________________________；

（5）_________________________________________；

【自主质疑和合作探究】

探究1 你能解释上述运算律的几何意义吗？

结合律是________，它的几何意义是________________________．

第一分配律是________，几何意义是________________________．

第二分配律是________，几何意义是________________________．

探究2 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？

向量共线定理 （即两个向量共线（平行）的等价条件）

如果共线，那么_________________ 作用:判定向量是否共线和判定点共线

探究3向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量,，以及任意实数恒有=_________________________你能解释它的几何意义吗？

将表示两个向量,的有向线段先分别伸长或缩短｜μ1｜，｜μ2｜倍，再相加（或相减），最后再伸长或缩短｜λ｜倍，与表示这两个向量,的有向线段先分别伸长或缩短｜λμ1｜，｜λμ2｜倍，再相加（或相减）所得的结果相同

探究4与非零向量共线的单位向量是_________________

探究5实数与向量可以相乘，仍然是一个向量，但能否进行加减运算呢？

【典例剖析】  例1 计算

（1）（-3）×4 ； （2）3（+）-(-)-;   (3)( 2+3-)-( 4-3+).

例2  平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且    =，  =，试用,表示向量   、 、  、  

 例3  已知任意两个非零向量,，试作＝+，＝+2，＝+3，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

变式训练  设,是两个不共线的非零向量，已知＝3-2，＝-2+4，＝-2-4，试判断A、C、D三点是否共线．

例4 在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD．

求证：M、N、C三点共线．

解析:用向量方法证明M、N、C三点共线，即证明向量与（或NC）共线，从而只要证明存在一个实数λ，使＝λ即可．                                                                        

规律总结:利用向量共线定理证明三点共线，是一种十分有效的方法．由三个点可得三个方向相同的向量，只要证明其中任意两个向量共线，就可得出三点共线．通过向量的几何、代数运算，找出两个向量的数乘关系，是解题的主体，通过中间向量（如本例中的,）沟通两个向量的共线关系，是解题的一个技巧．

练习1 证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．

解析 利用向量共线可以证明线段平行，利用向量的模长关系可以证明数量关系．

2若存在实数λ，使=λ，则A、B、C三点的位置关系如何？

3若P为AB的中点，则  与  、  的关系如何？

【课堂练习】练习. 教材P.90练习第1，2，3，4，5，6题.

【知识梳理】1、有关向量共线问题   ２、证明三点共线问题 ３、证明两直线平行的问题

【总结反思】

【巩固拓展训练】1、=___________。          2、=_____________。

3、=__________。             4、=___________。

5、=___________。  6、=_________ 。

7、=（       ）

A．    B．    C．    D．

8、设两非零向量，不共线，且，则实数k的值为（    ）

A．1      B．-1    C．    D．0

9、点C在线段AB上，且，则。

10、四边形ABCD为梯形，AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点。已知  =，  =，试用,表示向量和

11、在四边形ABCD中，= +2，＝-4-，＝-5-3.求证：四边形ABCD为梯形