人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示教案及反思

第一课时  平面向量基本定理

教学要求：了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法

教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.

教学过程：

一、新课准备：

1.复习向量加法.减法及其几何意义.

2.运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ，  λ(+)=λ+λ

3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.

二、讲授新课：

1. 问题的提出

①给定平面的任意两个向量，，作出.

②对于平面上两个不共线向量，，是不是平面上的所有向量都可以表示为λ1+λ2.？

2.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.

（讨论指出：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2） 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解，(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量）

3.例1：已知向量，  求作向量2.5+3.（教师板演→学生反复画图）

练习：已知向量， 求作向量4-3.5.（学生板演→教师修订→学生修正）

4.出示例2：如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和      

5..思考：已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.

6.小结：平面向量基本定理

三.巩固练习

1. 已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=    .

2. 已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).

3. 已知如图ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，  求证：+++=4

4.如图，不共线=t (tR)用，表示.

5.作业：课本P111 练习 （2）

第二课时 2.3.2～2.3.3  平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学要求：理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算.

教学重点：平面向量的坐标运算．

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

教学过程：.

一、复习准备：

1.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

2.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.

3.提问：如何进行力的分解？

二、讲授新课：

1. 教学平面向量的坐标表示

①如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量.作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.

(特别地，，，)

②出示例2：如图（略）分别用基底I ,j表示向量并求出它们的坐标.

2. 教学平面向量的坐标运算

①若，，则，

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

②若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. ==( x2， y2)  (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1)

③若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为.，则，即  

④例4：已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.

练习：已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 4)， C(4， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

2. 小结：平面向量的坐标表示 ；平面向量的坐标运算

三.练习

1. 若M(3， -2) ，N(-5， -1) 且 ，求P点的坐标.

2. 已知三个力 (3， 4)， (2， 5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.

3. 已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)，  C(1， 3)，  D(5， -3) 求证：四边形ABCD是梯形.

4．课本P111 练习 2 . 3

第三课时   2.3.4   平面向量共线的坐标表示

教学要求：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：平面向量的坐标表示及运算.

2.思考：如何用坐标表示两个共线向量？

二、讲授新课：

1. 教学平面向量共线的坐标表示：

①设=(x1， y1) ，=(x2， y2)，其中.由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2)       消去λ，x1y2-x2y1=0 这时向量共线.

（注：消去λ时不能两式相除；要注意什么；向量共线的有两种条件）

②讲解例6：已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.

练习：已知=(3，6)，=(x， 4)，且∥，求x.( 学生板演→教师修订→小结公式应用)

③讲解例7：已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.

（教师画图→师生探究→教师板演→探究：当时，求p点坐标. ）

练习：已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB

平行于直线CD吗？

④思考：设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； (2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.（教师分析→教师画图→学生板演）

⑤小结：平面向量共线的坐标表示

二.练习

①.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为        .

②.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=           .

③.若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x.

④.小结：1．平面向量共线的坐标表. 2.向量共线条件的适用类型.

五．作业

1.课本P111 （5）（6）（7）.

2.已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),试判断AB与CD的位置关系，并给出证明.

3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为多少？

4.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为多少?

5.作业：P111  (1).