数学必修42.4 平面向量的数量积教案及反思

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学过程：

一、复习引入：

（1）两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180

（2）两向量共线的判定

（3）练习   

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（  C  ）

A.6            B.5            C.7            D.8

2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（  B  ）

A.-3           B.-1           C.1            D.3

（4）力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.

二、讲解新课：

1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，

则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.

并规定0向量与任何向量的数量积为0.

探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.

（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c

   如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|

 ab = bc  但a  c

 (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

                显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；

当为锐角时投影为正值；   当为钝角时投影为负值；     当为直角时投影为0；

当 = 0时投影为 |b|；      当 = 180时投影为 |b|.

3．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.

探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，

1、ab  ab = 0

2、当a与b同向时，ab = |a||b|；      当a与b反向时，ab = |a||b|. 

特别的aa = |a|2或       |ab| ≤ |a||b|       cos =    

探究：平面向量数量积的运算律

1．交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos        ∴a  b = b  a

2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)

证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，

若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos，

a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos.

3．分配律：(a + b)c = ac + bc

  在平面内取一点O，作= a， = b，= c，  ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即   |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

 ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb     即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ

（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

三、讲解范例：

例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例2．已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。

例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b).  （2）|a+b|与|a-b|.

   （ 利用   ）   

例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

四、课堂练习：

1．P106面1、2、3题。

  2．下列叙述不正确的是（   ）

A. 向量的数量积满足交换律     B. 向量的数量积满足分配律

C. 向量的数量积满足结合律     D. a·b是一个实数

3．|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（    ）

A.平行         B.垂直       C.夹角为  D.不平行也不垂直

  4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.

五、小结：

1．平面向量的数量积及其几何意义；

2．平面向量数量积的重要性质及运算律；

3．向量垂直的条件.