高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例导学案

§2.5.1  平面几何中的向量方法

学习目标：⒈会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题．

⒉培养和发展运算能力和解决实际问题的能力．

⒊体会几何论证的严谨、优雅，以及它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维能力．

教学重点：平面几何中的向量方法．

教学难点：平面几何中的向量方法．

教学方法：讨论式．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

　　（Ⅰ）新课引入：

师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题．

本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用．

（Ⅱ）讲授新课：

例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

已知：平行四边形ABCD．

求证：．

分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到， ，我们计算和．

证明：不妨设a，b，则

a+b，a-b，|a|2，|b|2．

∴  ( a+b)·( a+b)

          = a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2．             ①

同理　　　|a|2-2a·b+|b|2．                            ②

①+②得   2(|a|2+|b|2)=2()．

所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

师：你能用几何方法解决这个问题吗？

生：（探索、研究得出本例的几何证法如右图）略．

师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.

用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，

⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

⑶把运算结果“翻译”成几何关系．

例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．

解：设a，b，则a+b．

　　∵　与共线

　　∴　存在实数m，使得  =m(a+b)．

又　∵　与共线

　　∴　存在实数n，使得  =n= n(b- a)．

　　由= n，得

m(a+b)= a+ n(b- a)．

整理得　　　　　　a＋b＝0．

由于向量a、b不共线，所以有　，解得．

所以　　　　　　　　　　　．

同理　　　　　　　　　　　．

于是　　　　　　　　　　　．

所以　　　　　　　　　　　AR＝RT＝TC．

说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法．

例3已知△ABC三条高线AD、BE、CF，求证：AD、BE、CF交于一点．

分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题．

解：如图，以BC所在直线为x轴，过点A垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．

设A、B、C三点的坐标分别为，，，且BE、CF交于点，则

，，

，．

∵　，，

∴　，解得　．

所以，点H在y轴上，即点H在AD上，AD、BE、CF交于一点．

（Ⅲ）课后练习：课本练习　习题2.5　B组  ⒊

（Ⅳ）课时小结:

几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来替代“数和数的运算”.这就是把点、线等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线的相应结果．如果把代数方法简单地表述为

［形到数］——［数的运算］——［数到形］，

则向量方法可以简单的表述为

［形到向量］——［向量的运算］——［向量和数到形］．

（Ⅴ）课后作业：

⒈课本练习　习题2.5　A组  ⒈⒉

⒉预习课本～，思考下列问题：

⑴怎样把物理问题转化为数学问题？

⑵如何用数学模型来解释相应的物理现象？

板书设计：

教学后记:

§2.5.2  向量在物理中的应用举例

学习目标：⒈学会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成，速度的分解与合成、位移的分解与合成以及有关功的计算．

⒉培养探究意识，提高运用数学知识解决实际问题的能力．

⒊体会学科间的联系，以及数学工具应用的广泛性与重要性．

教学重点：向量在物理中的应用．

教学难点：向量在物理中的应用．

教学方法：讨论式．

教具准备：用《几何画板》演示例3、例4．

教学过程：

　　（Ⅰ）新课引入：

师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．

本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量在物理中的运用．

（Ⅱ）讲授新课：

例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．

解：不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

|F1|=．

通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．（用《几何画板》演示）

师：请同学们结合刚才课件的演示，思考下面的问题：

⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

生：当时，|F1|最小，最小值是|G|，当时，|F1|=|G|．

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）

解：=(km/h)，

所以，  (min)．

答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．

（Ⅲ）课后练习：课本练习　习题2.5　B组  ⒈⒉

（Ⅳ）课时小结:

⑴用向量知识解决物理问题的一般思路是：

物理问题数学问题向量运算物理问题的结论．

⑵力、速度、位移的分解与合成中，涉及到向量长度的有关问题，通常用平方的技巧，然后转化到向量的数量积上来．

（Ⅴ）课后作业：

课本练习　习题2.5　A组  ⒊⒋

板书设计：

教学后记: