2020-2021学年2.5 平面向量应用举例学案

g3.1056平面向量的综合应用（1）

一、知识回顾

 1、运用向量的坐标形式，以及向量运算的定义，把问题转化为三角问题来解决；

2、运用向量的坐标形式，联系解析几何的知识，研究解析几何问题；

3、向量的综合应用，常与三角，解几等联系在一起 。

二、基本训练

1、平面直角坐标坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B（－1，3），若点C满足=α+β，若中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（     ）

A、（x－1）2+（y－2）2=5 B、3x+2y－11=0  C、2x－y=0 D、x+2y－5=0

2、已积=（2，0），=（2，2），= （cosα，sinα），则与夹角的范围是（     ）

A、[0，] B、[，] C、[，] D、[，]

3、平面向量=（x，y），=（x2，y2），=（1，1），=（2，2），若·=·=1，则这样的向量有（     ）

A、1个   B、2个   C、多于2个   D、不存在

4、已知++=， ||=3，||=5，||=7，则与夹角为（     ）

5.有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，           秒．

6.已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝()，且x∈[0，]．若f (x)＝a · b－2｜a＋b｜的最小值是，求的值．(襄樊3理)

三、例题分析：

例1.平面直角坐标系有点

 （1）求向量的夹角θ的余弦用x表示的函数f(x);

 （2）求θ的最值.

例2.已知向量a= (sinωx，cosωx)，b=( cosωx，cosωx)，其中ω＞0，记函数=a·b，已知的最小正周期为π．

（1）求ω；

（2）当0＜x≤时，试求f(x)的值域．南通一

例3.已知{an}是等差数列,公差d≠0，其前n项和为Sn,点列P1（1,）,P2(2, )，……Pn（n，）及点列M1(1,a1)，M2(2,a2)，……，Mn（n，an）

（1）求证： (n>2且n∈N*)与共线；

（2）若与的夹角是α，求证：|tanα|≤

例4．（04湖北）

 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.

四、作业  同步练习 g3.1056平面向量的综合应用（1）

1、已知平行四边形三个顶点的坐标分别是(4，2)，(5，7)，(－3，4)，则第四个顶点一定不是（     ）

  A、(12，5)  B、(－2，9)  C、(－4，－1)  D、(3，7)

2、已知平面上直线l的方向向量=(－，)，点O(0,0)和A(1,－2)在l上的射影分别为O1和A1，则=入，其中入=（     ）

  A、   B、－   C、2    D、－2

3、设F1、F2为曲线C1： +  = 1的焦点，P是曲线C2：－y2=1与曲线C1的一个交点，则 的值是（     ）

 A、   B、   C、    D、－

4、设、、是平面上非零向量，且相互不共线，则

①（·）－（·）=0

② |－| > ||－||

③（·）－（·）与不垂直

④（3+2）（3－2）= 9||2－4||2

其中真命题的序号是（     ）

 A、①②   B、②③   C、③④    D、②④

5、 = (cosθ，－sinθ)， =（－2－sinθ，－2+cosθ），其中θ∈[0，]，

则||的最大值为            

6、已知O、A、B、C是同一平面内不同四点，其中任意三点不共线，若存在一组实数入1、入2、入3，使入1+入2+入3=，则对于三个角：∠AOB、∠BOC、∠COA有下列说法：

①这三个角都是锐角；②这三个角都是钝角；

③这三个角中有一个钝角，另两个都是锐角；

④这三个角中有两个钝角，另一个是锐角。

其中可以成立的说法的序号是         （写上你认为正确的所有答案）

7、（05上海卷）直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是 __________。

8、（05江西卷）已知向量

.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

9、设=(1+cosα, sinα)，=(1－cosβ,sinβ)，=(1，0)，α∈(0,π)，β∈(π,2π), 与夹角为θ1，与的夹角为θ2，且θ1－θ2= ，求sin的值。

10、已知△OFQ的面积为S，且·=1，以O为坐标原点，直线OF为x轴（F在O右侧）建立直角坐标系。

（1）若S= ，|| =2，求向量所在的直线方程；

（2）设||=c，（c≥2），S=  c，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，求当|OQ|取得最小值时椭圆的方程。

11、 （04年福建卷.文理17）设函数，其中向量，，.

（Ⅰ）若且，求；

（Ⅱ）若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值.

答案

基本训练：1.  D  2.  C   3.   A    4        5.     2

6．解：a · b
    |a+b|
      ∴cos x≥0，因此| a＋b |＝2 cos x
　　∴f (x)＝a · b－2｜a＋b｜即
　　  ∴0≤cos x≤1
　　①若＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾；
　　②若0≤≤1，则当且仅当cos x＝时，f (x)取得最小值，
　　由已知得，解得：
　　③若＞1，则当且仅当cos x＝1时，f (x)取得最小值，
　　由已知得，解得：，这与相矛盾．
　　综上所述，为所求．

三、例题分析：

例1.解：（1）

   （2）

例2.(1)=sinωxcosωx＋cos2ωx =sin2ωx＋(1+cos2ωx)

=sin(2ωx+)+                 

∵ ω>0，∴T=π=，∴ω=1．           

（2）由（1），得=sin(2x+) + ,

∴0＜x≤,  ∴＜2x+≤．         

∴∈[1，]．

例 3. ∵ {an}成等差数列 ∴ = a1 +  d

（1） = (n-1，d )， = (1， )

∴  = (n-1)

∴  (n>2且n∈N*) 与  共线

 （2） = (1，d)  || =         而|| =

∴ cosα=  = … =

 ∴ tan2α= sec2α－1 = =  ≤

 ∴ |tanα| ≤

例4．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

四、作业

1—4、DDBD    5、2  6、①②③④    7、x+2y-4=0

8、解：

时，

9、 = 2cos (cos，sin)   ∴θ1=

     = 2sin （sin,cos）  ∴θ2 = －

 又θ1－θ2 =      ∴  = -   ∴sin  = －

10、（1）设Q(x0，y0) ∵|| = 2    ∴ F(2，0)

    ∴  = (2，0)， = (x0-2，y0)

    ∴ · = 1 得x0 =

    而S =  || |y0| =     ∴y0 = ±    ∴Q（，±）

    ∴  所在直线方程为y = x-2 或 y = -x+2

 （2）设Q（x0，y0） ∵|| = c  ∴F（c，O） ∴ =（x0-c，y0）

    ∴· = 1 得x0 = c +

    又S =  c |y0| = C ∴ y0=± Q（c + ，±）

    由函数f(x) = x +  的单调性，知g(c)在[2，+∞）上递增

   ∴ gmin(c) = g(2) =  ，此时c=2，|OQ|取最小值 ∴Q（，±）

    设出椭圆方程后可得椭圆方程为 +  = 1

11、,