高中数学3.2 简单的三角恒等变换精练

这是一份高中数学3.2 简单的三角恒等变换精练，共6页。

[时间：35分钟 分值：80分]

eq \a\vs4\al\c1(基础热身)
1．[2011·江门质检] 已知sin10°＝a，则sin70°等于( )
A．1－2a2 B．1＋2a2
C．1－a2 D．a2－1
2．若α是第二象限角，sineq \f(α,2)＝eq \f(4,5)，则sinα的值为( )
A.eq \f(9,25) B.eq \f(21,25) C.eq \f(24,25) D．－eq \f(24,25)
3．[2011·绍兴一模] 函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))cs(π＋x)＋eq \f(\r(3),2)cs2x的值域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))
C．[－1,1] D．[－2,2]
4．[2011·杭州质检] 设α为第四象限的角，若eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(13,5)，则tan2α＝________.
eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5．[2011·合肥二模] 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,4)，则sin2α的值是( )
A.eq \f(7,8) B.eq \f(\r(15),8)
C．－eq \f(\r(15),8) D．－eq \f(7,8)
6．函数f(x)＝2cs2x－eq \r(3)sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为( )
A．2π，3 B．2π，1 C．π，3 D．π，1
7．[2011·开封二模] 已知tanα＝4，则eq \f(1＋cs2α＋8sin2α,sin2α)的值为( )
A．4eq \r(3) B.eq \f(65,4) C．4 D.eq \f(2\r(3),3)
8．[2011·濮阳二模] 已知θ为△ABC的一个内角，且sinθ＋csθ＝m，若m∈(0,1)，则关于△ABC的形状的判断，正确的是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．前三种形状都有可能
9．计算：eq \f(\r(3)tan12°－3,4cs212°sin12°－2sin12°)＝________.
10．[2011·济宁质检] 已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝3，则sin2θ－2cs2θ＝________.
11．已知函数f(x)＝sin2ωx＋eq \r(3)sinωx·csωx，x∈R，又f(α)＝－eq \f(1,2)，f(β)＝eq \f(1,2)，若|α－β|的最小值为eq \f(3π,4)，则正数ω的值为________．
12．(13分)已知向量a＝(csα，sinα)，b＝(csβ，sinβ)，|a－b|＝eq \f(2\r(5),5).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)若0<αeq \a\vs4\al\c1(难点突破)
13．(12分)已知函数f(x)＝eq \f(\r(3),2)sinπx＋eq \f(1,2)csπx，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)设函数f(x)在[－1,1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求eq \(PM,\s\up6(→))与eq \(PN,\s\up6(→))的夹角的余弦．
课时作业(二十)
【基础热身】
1．A [解析] sin70°＝sin(90°－20°)＝cs20°
＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A.
2．C [解析] ∵2kπ＋eq \f(π,2)＜α＜2kπ＋π，∴kπ＋eq \f(π,4)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(π,2).又sineq \f(α,2)＝eq \f(4,5)＞0，∴eq \f(α,2)在第一象限，
∴cseq \f(α,2)＝eq \r(1－sin2\f(α,2))＝eq \f(3,5)，
∴sinα＝2sineq \f(α,2)·cseq \f(α,2)＝eq \f(24,25)，故选C.
3．C [解析] y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))cs(π＋x)＋eq \f(\r(3),2)cs2x
＝sinx(－csx)＋eq \f(\r(3),2)cs2x＝－eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(\r(3),2)cs2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
则函数的最大值是1，最小值是－1，值域为[－1,1]，故选C.
4．－eq \f(3,4) [解析] eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(sin2α＋α,sinα)
＝eq \f(sin2αcsα＋cs2αsinα,sinα)＝eq \f(13,5)，
∴2cs2α＋cs2α＝eq \f(13,5)，即2cs2α－1＋cs2α＝eq \f(8,5)，
∴cs2α＝eq \f(4,5).
∵2kπ－eq \f(π,2)<α<2kπ，k∈Z，∴4kπ－π<2α<4kπ，
又∵cs2α＝eq \f(4,5)>0，∴2α为第四象限的角．
∴sin2α＝－eq \r(1－cs22α)＝－eq \f(3,5)，∴tan2α＝－eq \f(3,4).
【能力提升】
5．D [解析] sin2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2－1＝－eq \f(7,8)，故选D.
6．C [解析] f(x)＝2cs2x－eq \r(3)sin2x＝cs2x－eq \r(3)sin2x＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为3，故选C.
7．B [解析] 原式＝eq \f(2cs2α＋8sin2α,2sinαcsα)＝eq \f(1＋4tan2α,tanα)＝eq \f(1＋4×42,4)＝eq \f(65,4)，故选B.
8．B [解析] m＝sinθ＋csθ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))∈(0,1)，所以09．－4eq \r(3) [解析] eq \f(\r(3)tan12°－3,4cs212°sin12°－2sin12°)＝eq \f(\r(3)sin12°－3cs12°,2cs24°sin12°cs12°)
＝eq \f(2\r(3)sin12°－60°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq \r(3).
10．－eq \f(4,5) [解析] 解法一：sin2θ－2cs2θ＝sin2θ－cs2θ－1，
sin2θ＝－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(1－tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),1＋tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(4,5)，
cs2θ＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),1＋tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(3,5)，
∴原式＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)－1＝－eq \f(4,5).
解法二：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝3，eq \f(1＋tanθ,1－tanθ)＝3，解得tanθ＝eq \f(1,2)，
sin2θ－2cs2θ＝eq \f(2sinθcsθ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(2tanθ－2,tan2θ＋1)＝－eq \f(4,5).
11.eq \f(1,3) [解析] f(x)＝eq \f(1－cs2ωx,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2ωx＝eq \f(\r(3),2)sin2ωx－eq \f(1,2)cs2ωx＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).
又由f(α)＝－eq \f(1,2)，f(β)＝eq \f(1,2)，且|α－β|的最小值为eq \f(3π,4)，可知T＝3π，于是ω＝eq \f(1,3).
12．[解答] (1)∵a＝(csα，sinα)，b＝(csβ，sinβ)，
∴a－b＝(csα－csβ，sinα－sinβ)．
∵|a－b|＝eq \f(2\r(5),5)，
∴eq \r(csα－csβ2＋sinα－sinβ2)＝eq \f(2\r(5),5)，
即2－2cs(α－β)＝eq \f(4,5)，∴cs(α－β)＝eq \f(3,5).
(2)∵0<α∵cs(α－β)＝eq \f(3,5)，∴sin(α－β)＝eq \f(4,5).
∵sinβ＝－eq \f(5,13)，∴csβ＝eq \f(12,13)，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)csβ＋cs(α－β)sinβ
＝eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(33,65).
【难点突破】
13．[解答] (1)∵f(x)＝eq \f(\r(3),2)sinπx＋eq \f(1,2)csπx
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))，x∈R，
∴－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))≤1，
∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，－1.
(2)解法1：令f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))＝0，
得πx＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，
∵x∈[－1,1]，∴x＝－eq \f(1,6)或x＝eq \f(5,6)，
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，0))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，0)).
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))＝1，且x∈[－1,1]得x＝eq \f(1,3)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))，
∴cs〈eq \(PM,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(PM,\s\up6(→))·\(PN,\s\up6(→)),|\(PM,\s\up6(→))|·|\(PN,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,5).
解法2：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|＝1，
由三角函数的性质知|MN|＝eq \f(1,2)T＝1，
|PM|＝|PN|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，
由余弦定理得，
cs〈eq \(PM,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))〉＝eq \f(|PM|2＋|PN|2－|MN|2,2|PM|·|PN|)
＝eq \f(\f(5,4)×2－1,2×\f(5,4))＝eq \f(3,5).
解法3：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|＝1，
由三角函数的性质知|MN|＝eq \f(1,2)T＝1，
|PM|＝|PN|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，
在Rt△PAM中，cs∠MPA＝eq \f(|PA|,|PM|)＝eq \f(1,\f(\r(5),2))＝eq \f(2\r(5),5).
∵PA平分∠MPN，
∴cs∠MPN＝cs2∠MPA＝2cs2∠MPA－1
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2－1＝eq \f(3,5).