高中数学人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换导学案及答案

三角恒等变换

【学法导航】

1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在

（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；

（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围

（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等

2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如， 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。

3.三角函数恒等变形的基本策。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

②项的分拆与角的配凑。如分拆项：;

配凑角(常用角变换):、、

、、等.

③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次

④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，

即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式，  cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β） ，1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。

【专题综合】

例1. （05天津）已知，求及．

解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

，即   ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故             ②

由①和②式得，

因此，，由两角和的正切公式

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，

解得　　，即

由可得

由于，且，故在第二象限于是，

从而

以下同解法一

小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．

2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．

例2. 已知为锐角的三个内角，两向量，，若与是共线向量.

  （1）求的大小；

  （2）求函数取最大值时，的大小.

解：（1）

，       

（2）

．

小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意

例3. 设关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β.

(1)求α的取值范围;  (2)求tan(α＋β)的值.

解: (1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2 sin(x＋),  

∴方程化为sin(x＋)＝－.

∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解,

∴sin(x＋)≠sin＝ .

又sin(x＋)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解),

∴|－|<1 . 且－≠. 即|a|<2且a≠－. 

∴  a的取值范围是(－2, －)∪(－, 2).     

 (2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα＋cosα＋a＝0   ①.   

sinβ＋cosβ＋a＝0      ②.

①－②得(sinα－ sinβ)＋( cosα－ cosβ)＝0.

∴ 2sincos－2sin

sin＝0, 又sin≠0,

∴tan＝.

∴tan(α＋β)＝＝.

小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件.

例4.中，已知内角，边.设内角,面积为.

(1)若，求边的长；

(2)求的最大值.

解：（1）由正弦定理得：

（2）的内角和 ，     

=

，

当即时，取得最大值.

小结：本题将三角函数、三角恒等变换与解三角形（正、余弦定理等）综合，考查学生灵活运用知识的能力

例5.已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围．

解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．

任取，且，则不等式恒成立，即恒成立．化简得

由可知：，所以

上式恒成立的条件为：.

由于

且当时，，所以 ,

从而  ,

有   ,

故  的取值范围为.

【专题突破】

一、选择题

1．若，则的值为（　　）

Ａ．   Ｂ．   Ｃ．    Ｄ．

2.=（     ）  

A.      B.     C. 2     D.

3.函数是（    ）

A．周期为的奇函数   B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数   D．周期为的偶函数

4．求值（    ）A．     B．   C．   D．

5．已知，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

6．函数的最小正周期是（    ）

A.   B.   C.   D.

7．在△ABC中，，则△ABC为（    ）

A．锐角三角形   B．直角三角形   C．钝角三角形   D．无法判定

8．设，，，则大小关系（    ）

A．            B． 

C．            D．

9．函数是（    ）

A.周期为的奇函数   B.周期为的偶函数

C.周期为的奇函数   D.周期为的偶函数

10．已知，则的值为（    ）

A．   B．    C．    D．

11、已知，，且，，则的值是                                            （    ）

 A、         B、       C、       D．

12、已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是              （    ）

A、     B、    C、  D、

二、填空题

13、已知，，则         

14、函数的最小值是    

15、函数图像的对称中心是（写出通式）         

16、关于函数，下列命题：

①、若存在，有时，成立；

②、在区间上是单调递增；

③、函数的图像关于点成中心对称图像；

④、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号          （注：把你认为正确的序号都填上）

三、解答题

17.求证：

18. 求值：

19.已知函数．

 （1）若，，求的值；

 （2）求函数在上最大值和最小值．

20. 已知

图像上相邻的两个对称轴的距离是

（1）求的值；

（2）求函数上的最大值和最小值．

21. 设向量，，，若，

求：（1）的值；       （2）的值．

22. 设函数

（1）求函数的最小正周期；（2）若，是否存在实数m，使函数的值域恰为？若存在，请求 出m的取值；若不存在，请说明理由．

专题突破参考答案

一、选择题

1．C     2． C    3．C  4．C

5.D  ，

6.D 

7.C  为钝角

8.D  ，，

9.C  ，为奇函数，

10.B 

11.D

12.A

二、填空题

13、        14、

15、    16、①③

三、解答题

17. 解：证明：左边=

=

=

=

=

=右边，原题得证．

18．解：解：原式

19. 解：（1）

由题意知： ，即．

∵，即 ， 

∴，．

（2）∵ ， 即 ，

∴，．

20. 解：……（2分）

（1）因为函数的图象上相邻的两个对称轴间的距离是

所以函数的最小正周期T=，则

（2）

，

则当时，取得最小值－1；

当取得最大值

21. 解：（1）依题意，

，又．

（2）由于，则

结合，可得

则 ．

22. 解： （1）

∴ 函数的最小正周期

（2）假设存在实数m符合题意， ，

∴   

∴     

又∵，解得                

∴存在实数，使函数的值域恰为