重庆市南开中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题含答案

重庆南开中学高2024级高一（上）期中考试

数学试题

本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第 Ⅰ 卷和第 Ⅱ 卷都答在答题卷上.

第 Ⅰ 卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．

1. 已知集合，，，则（    ）

 A． B． C． D．

2. 命题“”的否定为（    ）

A．     B．

C．     D．

3. 已知集合，，则下列图象中，能表示从集合到集合的一个函数的为（    ）

A  B C D

4. 设，则“”是“”的（    ）

A．充要条件       B．充分不必要条件

C．必要不充分条件      D．既不必要也不充分条件

5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

 A． B． C． D．

6. 函数的值域为（    ）

 A． B． C． D．

7. 已知集合，集合，集合满足且，则满足条件的集合的个数为（    ）

 A． B． C． D．

8. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（   ）

A．                        B． 

C．              D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知，若，，则下列关系式中恒成立的有（    ）

 A． B． C．       D．

10. 下列四组函数中是相同函数的有（    ）

A．； 

B．；

C． ；

D． ；

11. 设函数，（），则下列说法正确的有（    ）

 A．函数的单调递减区间为

 B．若函数为偶函数，则

 C．若函数定义域为，则

 D．，，使得，则

12. 群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次及以上的方程没有根式解就可以群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，若满足：

①有；②，使得，有；

③，使，则称关于“”构成一个群，则下列说法正确的有（    ）

 A．关于数的乘法构成群

 B．有理数集关于数的乘法构成群

 C．关于数的加法构成群

 D．关于数的加法构成群

第 Ⅱ 卷(非选择题  共90分)

三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.

13. 为庆祝中国共产党成立周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动. 已知高一（1）班参演了两个节目，名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》. 其中，两个节目都参加的有名同学. 则这个班表演节目的共有____________人.

14. 已知，若，则____________.

15. 设函数，若函数在上的最大值为，最小值为，则____________. 

16. 设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为____________.

四、解答题：本大题6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.

17. （10分）设全集，集合，.

（1）若集合恰有一个元素，求实数的值；

（2）若，，求.

18. （12分）集合，，.

（1）求；

（2）现有三个条件：①，②，③条件，，若是的充分不必要条件. 在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题. 选择多个条件作答时，按第一选择给分.

 已知           ，求实数的取值范围.

19. （12分）已知定义在上的函数满足：.

（1）求函数的表达式；

（2）若函数在区间上最小值为，求实数的值.

20.（12分）2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购买量没达到千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过千克时，超出部分每多一千克，则购买的所有产品单价每千克降低元. 比如购买千克，则所有的千克均按元单价执行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过千克.

（1）求购买该种子千克花费的总费用（元）关于的函数；

（2）学校采购该种子时，幸运的获得了一张元代金券，在购买产品总量不少于千克时，可用来一次性抵扣元. 那么，在购买量不超过千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克的平均花费在什么范围？

21.（12分）设二次函数满足，且关于的不等式的解集为.

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．

22.（12分）已知定义在上的函数满足：

①；

②；

③当时，.

（1）求；

（2）求证：函数在上单调递增；

（3）若实数，在上恒成立，求的取值范围.

重庆南开中学2021-2022年度（上）高2024级期中考试

数学试题答案

一、选择题（单选）

二、选择题（多选）

三、填空题

13.        14.           15.    16.

四、解答题

17. 【答案】（1）      （2）

【解析】（1）        解得：

（2）   

又   

即   

检验： ，

18. 【答案】（1）   

（2）选①：；选②；选③

【解析】（1）    解得：       解得：   

（2）选①：   

当即时，满足题意；

当即时，；

综上：.

选②：当即时，满足题意；

当即时，或，

综上：

选③：由题：.

当即时，满足题意；

当即时，；

综上：.

19. 【答案】（1）     （2）

【解析】（1）将①中换成可得：

②联立①②可解得：

（2）由（1）可得：，易知开口向上且关于对称

  当即时，在区间上单调递增

    满足题意

  当即时，在上单调递减，在上单调递增

  当即时，在区间上单调递减

    ，舍去

  综上：.

20. 【答案】（1）          （2）

【解析】（1）当时，；

当时，；

.

（2）设购买种子每千克的平均花费为，则由题可知；

此时.

当时，取得最小值；当时，取得最大值；

当时，的值域为；

故值域为，即购买种子每千克平均花费在元.

21. 【答案】（1）  （2）

【解析】（1）由题可设，

又，  

（2）由在上有解，

 ① 当时，，符合题意；

 ② 当时，令，则，

，设；

在，上单调递增，值域为.

值域为

综上，当时原方程有解.

22. 【答案】（1）      （2）证明见解析        （3）

【解析】（1）取得，

取得，

取得，.

（2）任取，令得：

因为，所以,

所以，故函数在上单调递增.

（3）方法一：

，所以

所以，

由（2）知单调递增，则，（*）

定义域，此时也为正

由题，在上有定义，则

令,,

，则，

所以，

（*）式可化为即在恒成立

设，只需解得

综上，.

方法二：

(★)在恒成立即可，

由题，在上有定义，则， ，

下证：当时，(★)式在区间上均成立

，

又，且单调递增，

，即时，(★)式成立.

综上，