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高中数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案
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这是一份高中数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析 “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”. 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.三维目标1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课. 思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=,α∈(,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？ 活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα（S2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos2α=cos2α-sin2α(C2α);tan(α+β)= 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin2α+cos2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式. 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系. 问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式. 问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ+和α≠kπ+(k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+,k∈Z时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,是的二倍,3α是的二倍,是的二倍，-α是-的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=sin6α，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80°，cos22α-sin22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k∈Z).若cos2α=2cosα,则2cos2α-2cosα-1=0,即cosα=(cosα=舍去).若tan2α=2tanα,则=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k∈Z).解答：①—⑧（略）应用示例思路1例1 已知sin2α=,<α<,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由<α<,得<2α<π.又∵sin2α=,∴cos2α==.于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2××()=;cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×()2=;tan4α==(-)×=. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式= 点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007年高考海南卷,9) 若,则cosα+sinα的值为……( )A. B. C. D.答案:C3.(2007年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为的是( )A.2sin15°-cos15° B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°答案:B例2 证明=tanθ. 活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？ 待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左====tanθ=右.所以,原式成立.方法二:左===tanθ=右.方法三:左=====tanθ=右. 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值. 活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°== 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2 在△ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析 “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”. 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.三维目标1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课. 思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=,α∈(,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？ 活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα（S2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos2α=cos2α-sin2α(C2α);tan(α+β)= 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin2α+cos2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式. 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系. 问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式. 问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ+和α≠kπ+(k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+,k∈Z时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,是的二倍,3α是的二倍,是的二倍，-α是-的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=sin6α，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80°，cos22α-sin22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k∈Z).若cos2α=2cosα,则2cos2α-2cosα-1=0,即cosα=(cosα=舍去).若tan2α=2tanα,则=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k∈Z).解答：①—⑧（略）应用示例思路1例1 已知sin2α=,<α<,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由<α<,得<2α<π.又∵sin2α=,∴cos2α==.于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2××()=;cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×()2=;tan4α==(-)×=. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式= 点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007年高考海南卷,9) 若,则cosα+sinα的值为……( )A. B. C. D.答案:C3.(2007年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为的是( )A.2sin15°-cos15° B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°答案:B例2 证明=tanθ. 活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？ 待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左====tanθ=右.所以,原式成立.方法二:左===tanθ=右.方法三:左=====tanθ=右. 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值. 活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°== 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2 在△ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0
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