数学必修42.5 平面向量应用举例教学设计

这是一份数学必修42.5 平面向量应用举例教学设计

1.2应用举例(一)复习引入1. 什么是正弦定理？复习引入1. 什么是正弦定理？ 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 复习引入2. 运用正弦定理能解怎样的三角形？ 复习引入①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角. 2. 运用正弦定理能解怎样的三角形？ 复习引入3. 什么是余弦定理？复习引入3. 什么是余弦定理？ 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即：复习引入①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.4. 运用余弦定理能解怎样的三角形？讲授新课例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o. 求A、B两点的距离(精确到0.1m)CAB1. 在△ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？思考：2. 运用该定理解题还需要哪些边和角呢？讲解范例例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o. 求A、B两点的距离(精确到0.1m)CAB两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？变式练习：讲解范例：例2. 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法.AB评注： 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.课堂小结解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出 示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角 形中，建立一个解斜三角形的数学 模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意 义，从而得出实际问题的解.1.2应用举例(二)课题导入 现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.讲授新课例1. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.讲授新课例1. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.AB例2. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角＝54o40'，在塔底C处测得A处的俯角 =50o1' .已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1m).讲解范例：思考： 有没有别的解法呢？若在△ACD中求CD，可先求出AC.思考如何求出AC？DABC讲授新课例3.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15o的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25o的方向上，仰角为8o，求此山的高度CD.思考：1. 欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 思考：1. 欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 2. 在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？ 课堂小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.1.2应用举例(三)课题导入 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.讲授新课例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75o的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32o的方向航行54.0 n mile后达到海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1o，距离精确到0.01n mile)CAB32o75o北西东南讲解范例：AEBCD242例3.某巡逻艇在A处发现北偏东45o相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75o的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？北CAB讲解范例：评注： 在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课堂小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中， 依次利用正弦定理或余弦定理解之.(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形， 这时需要选择条件足够的三角形优先研究， 再逐步在其余的三角形中求出问题的解.1.2应用举例(四)课题导入 在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？课题导入 在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？ha＝bsinC＝csinB hb=csinA＝asinC hc=asinB＝bsinA讲授新课根据以前学过的三角形面积公式 可以推导出下面的三角形面积公式：讲授新课根据以前学过的三角形面积公式 可以推导出下面的三角形面积公式：讲授新课根据以前学过的三角形面积公式 可以推导出下面的三角形面积公式：讲授新课根据以前学过的三角形面积公式 可以推导出下面的三角形面积公式：例1. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）(1) 已知a＝14cm, c＝24cm, B＝150o;(2) 已知B＝60o, C＝45o, b＝4cm;(3) 已知三边的长分别为a＝3cm, b＝4cm, c＝6cm.讲解范例：例2. 如图，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2）讲解范例：思考： 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.变式练习1：已知在△ABC中，B＝30o，b＝6，c＝6 求a及△ABC的面积S.例3.在 △ABC中，求证：讲解范例：变式练习2：判断满足 的三角形形状.条件变式练习2：判断满足 的三角形形状.条件 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” (解略)直角三角形.提示：课堂小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.