高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教学设计及反思

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第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量 作出++和()+()+()BAOCPQMN==++=3==()+()+()=3 讨论：13与方向相同且|3|=3|| 23与方向相反且|3|=3||2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ 1|λ|=|λ|||2λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=3．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ) ①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②第二分配律：λ(+)=λ+λ ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||||(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ∴|λ(μ)|=|(λμ)| 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。 从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ0，μ0，当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|||λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向 即：|(λ+μ)|=|λ+μ| 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ| ∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立OABB1A1当，且λ0，λ1时1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，作 λ λ 则+ λ+λ由作法知：∥有OAB=OA1B1 ||=λ||∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ 当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ ∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）若有向量()、，实数λ，使=λ 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线()且||：||=μ，则当与同向时=μ 当与反向时=μ从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使=λ2．例二（P104-105 略）三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2