数学选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.多媒体教学课件ppt

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第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用1．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．2．会根据实际问题合理分类或分步. 1．应用两个计数原理解决实际问题．(重点)2．合理分类或分步．(难点)3．涂色问题中的讨论．(易混点) 家电下乡政策是国家深入贯彻落实科学发展观、积极扩大内需的重要举措，是财政和贸易政策的创新突破．家电下乡政策实施以来，给广大农民带来了很大实惠，在外打工的小王要给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机，现有5种型号的冰箱和3种型号的洗衣机，那么小王共有多少购买方案？1．两个计数原理在解决计数问题中的方法2．应用两个计数原理应注意的问题(1)分类要做到“ ”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“ ”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．不重不漏步骤完整1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数是(　　)A．11　　　　　　　 B．12C．30 D．36解析：　个位数字有6种选法，十位数字有5种选法，由分步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数．答案：　C2.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　)A．96 B．84C．60 D．48解析：　方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法总数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84种．方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4×3＝12种．共有N＝24＋48＋12＝84种．答案：　B3．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．解析：　如下图：同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法．答案：　104．同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人写的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式有多少种？解析：　方法一：对4人分别编1,2,3,4四个号，对四张贺年卡也编上1,2,3,4四个号，那么1,2,3,4四个数字填入1,2,3,4四个方格的一个填法对应贺卡的一个送法，原题转化为上面所述方格的编号与所填数字的不同的填法种数问题．首先，在1号方格里填数，可填上2,3,4中的任意一个数，有3种填法；其次，当在第1号方格填数i之后(2≤i≤4)，在第i号方格中填上合乎要求的数，有3种填法；最后，将剩下的两个数，填到空着的方格里，只有1种填法合乎要求(因为这两个数中，至少有一个数与空的方格序号相同)．根据分步乘法计数原理，不同的分配方式共有3×3×1＝9种．方法二：21—4—33—4—14—1—3　31—4—241—22—1　41—2—331—22—1共9种. 用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0，四位奇数的首位不为0且个位必须为奇数．[解题过程]　(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个．(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4这4个数字中选一个数字作千位数字，共4种不同的选取方法，第二步从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共4个数字选一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1、3中任取一个有两种方法，第二步定首位，把1、2、3、4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36个．[题后感悟]　(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．1.8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解析：　先排放百位从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294(个)不同的三位数． 用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？由题目可获取以下主要信息：①用五种不同的颜色给四个区域涂色；②相邻区域不能涂同种颜色；③不相邻区域可以涂同种颜色．解答本题可先给各个区域标上记号，从不相邻区域是否着相同颜色进行分类、分步解决．[解题过程]　先分为两类：第一类，当D与A不同色，则可分为四步完成．第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，第四步涂D有2种涂法，由分步乘法计数原理，共有5×4×3×2＝120种方法．第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，由分步乘法计数原理共有5×4×3＝60(种)，所以共有120＋60＝180种不同的方案．[题后感悟]　染色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，像本题中A、D颜色是否相同对其他区域的涂色有影响．　 2.如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？解析：　按地图A、B、C、D四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A区域，有3种选择；第二步，涂B区域，有2种选择；第三步，涂C区域，由于它与A、B区域不同，有1种选择；第四步，涂D区域，由于它与B、C区域不同，有1种选择．所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共有3×2×1×1＝6(种)．3. 用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解析：给各区域标记号A、B、C、D、E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种. 因此应先分类后分步．第一类，B、D涂同色时，有4×3×2×1×2＝48种，第二类，当B、D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，故共有48＋24＝72种不同的涂色方法． 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．由题目可获取以下主要信息：①从四种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上；②黄瓜必须种植．解答此题可考虑以黄瓜所种植的土地分类求解或用间接法求解．[解题过程]　方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6种．故不同的种植方法共有6×3＝18种．方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24种，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种，故共有不同种植方法24－6＝18种．[题后感悟]　对于同一个事件的处理，往往可以采用不同的处理方法，从而得到不同的解法，但结果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果．按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证你提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步． 4.如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有(　　)A．400种　　　　　　　　 B．460种C．480种 D．496种解析：　从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A种相同作物1种，D、A不同作物3种，∴不同种法有6×5×4×(1＋3)＝480种．故选C.答案：　C 某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？第(1)问属于分类的问题，用分类加法计数原理求解；第(2)问属于分步的问题，用分步乘法计数原理求解；第(3)问是综合类问题，要先分类再分步．[规范解答]　(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15(种)选法.4分(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120(种)选法.8分(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30(种)选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20(种)选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24(种)选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74(种)选法.12分[题后感悟]　使用两个原理解题的本质5.有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同方法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？解析：　(1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法，5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16(种)选法．(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120(种)选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24(种)选法；第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15(种)选法．由分类加法计数原理，共有24＋15＝39(种)选法．1．两个计数原理的综合应用对于某些问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用，并注意以下几点：(1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么．(2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分步”，并搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么．(3)在分析过程中，如能借助一些图形、示意图、表格帮助分析，可以使问题更加直观、清楚．2．两个计数原理的使用方法(1)合理分类，准确分步处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，接下来要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．(2)特殊优先，一般在后解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．(3)分类讨论，数形结合，转化与化归分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计数问题的基本思想．数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要思想方法，对解决计数问题至关重要．◎有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？【错解】　第一步，种植A试验田有4种方法；第二步，种植B试验田有3种方法；第三步，种植C试验田有3种方法；第四步，种植D试验田有2种方法；由分步乘法计数原理知，共有N＝4×3×3×2＝72种种植方法．【错因】　若按A、B、C、D的顺序依次种植作物，会导致D试验田的种植数受C试验田的影响，情况复杂．实际上种植C、D两块试验田再作为一步，用分类加法计数原理求解．【正解】　方法一：第一步，第二步与错解相同．第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种方法．第四步，由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．方法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．(2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法. 练考题、验能力、轻巧夺冠