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2020-2021学年1.1分类加法计数原理与分步乘法计.授课ppt课件
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这是一份2020-2021学年1.1分类加法计数原理与分步乘法计.授课ppt课件
●课程目标1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能根据具体问题的特征选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单问题．2．通过实例理解排列的概念，能用列举法、树形图列出排列，能用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际问题．3．理解组合的概念，能利用计数原理和排列数公式推导组合数公式，并能解决简单的实际问题．4．能利用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．5．能用不完全归纳法写出杨辉三角形；能根据杨辉三角形对(a＋b)n(n≤6)的二项式进行展开；能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开式的系数，C(r＝0,1,2，…，n，n∈N*)以及二项式的通项Tr＋1＝C·an－r·br；能正确区分二项式系数和某一项的系数；能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它特定的项或系数．●重点难点本章学习重点：两个基本原理、排列与组合的意义、排列数与组合数的计算公式、二项式定理．本章学习难点：1.正确熟练地运用两个基本原理来分析和解决与排列、组合有关的应用题；2．对有关符号、公式的认识以及对它们的变形或论证．●学法探究计数原理是高中数学相对独立的内容，不论是内容还是思维方法，与其他章节都有很大不同，因此理解体会这部分内容，掌握常用的思维方法和解题技巧，是学好这部分的关键．1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法．把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点．2．排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独特的思考方法，应理解掌握．关于排列组合问题，除了教材上所提到的几种方法外，有时还经常用到以下两种方法：(1)间接法：把不符合条件的排列数或组合数剔除掉．(2)穷举法：把符合条件的所有排列或组合一一写出来．3．二项式定理是组合思想方法的具体应用，要体会理解这一定理的组合方法的证明，掌握展开式的通项公式及二项式系数的性质．1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．通过实例总结出分类加法计数原理，理解分类加法计数原理；2．通过实例总结出分步乘法计数原理，理解分步乘法计数原理；3．会利用两个计数原理解决一些简单问题．本节重点：归纳得出两个计数原理，能运用它们解决简单的实际问题．本节难点：正确理解“完成一件事情”的含义，正确区分“分类”与“分步”．1．分类加法计数原理也称为分类计数原理、加法原理，应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪种办法中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．(3)确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”．2．分步乘法计数原理也称为分步计数原理、乘法原理，应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几个步骤才能完成这件事．(2)解决“分步”问题，用分步乘法计数原理，需要将一件事分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成了这件事，注意各个步骤之间的连续性．(3)在每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，即不漏步也不重步，二是每个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代．1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．2．分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．m＋nm1＋m2＋…＋mn3．分步乘计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．4．分类计数乘法原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．m×nm1×m2×…×mn5．两个原理的联系与区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的 问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是 问题，其中各种方法 ，其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是 问题，各个步骤中的方法 ，只有各个步骤都完成才算完成这件事．不同方法的种数相互独立分步互相依存分类[例1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[点评] 解决该类问题应从简单入手分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同的角度考虑问题．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种).[例2] 已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？[解析] 圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．[点评] 在用分步乘法计数原理处理问题时，要正确“设计”分步的步骤，即共分几步才能完成该件事，每一步的具体内容是什么，各步的方法数又是多少，最后用分步乘法计数原理求解．本题中需要完成的事是确定一组a，b，r的值，而确定每一个值的方法数又是明确可知的，故应分步完成．(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践 ，则有多少种不同分配方案？[解析] (1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.[例3] 一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[分析] 判别一种分法是“分类”还是“分步”的标准是看这种方法是否独立地完成这件事情．如果能完成就是“分类”，如果不能单独完成，就是“分步”．[解析] (1)从书架上任取一本书，有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法．只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法．由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．[答案] 9 20[解析] 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．[例4] 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[分析] 要分清完成这件事是分类还是分步，第(1)小题分三类，即从国画或油画或水彩画中选一幅；第(2)小题要分步，即分别从国画、油画、水彩画中各选一幅才能完成这件事，故可用分步乘法计数原理；第(3)小题选先分类后分步，在每一类中用分步乘法计数原理，最后用分类加法计数原理．[解析] (1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．[点评] 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析] 分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35种取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42种取法．∴共有取法：30＋35＋42＝107(种)．一、选择题1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则xy可表示不同的值的个数是( )A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9[答案] D[解析] x，y在各自的取值集合中各选一个值相乘求积这件事，可分为两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24，4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同值．[答案] A[解析] 1名同学有5种选择，则6名同学共有56种选择．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )A．300种 B．240种 C．144种 D．96种[答案] B[解析] 能去巴黎的有4个人，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有5个人，4个人，3个人，故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.二、填空题4．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．[答案] 4[解析] 分两类：3个奇数两两相加，3个偶数两两相加，都得偶数，又1＋5＝2＋4,3＋5＝2＋6，所以可得不同的偶数有3＋3－2＝4(个)．5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示)[答案] 48[解析] 先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．三、解答题6．三年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取1名男生和1名女生作代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？[解析] 男生为38人，女生为18人，根据本题题意要完成一件事情需分2个步骤：第一步从男生38人中任选1人，有38种不同的选法；第二步从女生18人中任选1人，有18种不同的选法．只有上述两步都完成后，才能完成从男生中和女生中各选1名这件事，根据分步乘法计数原理共有38×18＝684(种)选取代表的方法．
●课程目标1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能根据具体问题的特征选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单问题．2．通过实例理解排列的概念，能用列举法、树形图列出排列，能用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际问题．3．理解组合的概念，能利用计数原理和排列数公式推导组合数公式，并能解决简单的实际问题．4．能利用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．5．能用不完全归纳法写出杨辉三角形；能根据杨辉三角形对(a＋b)n(n≤6)的二项式进行展开；能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开式的系数，C(r＝0,1,2，…，n，n∈N*)以及二项式的通项Tr＋1＝C·an－r·br；能正确区分二项式系数和某一项的系数；能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它特定的项或系数．●重点难点本章学习重点：两个基本原理、排列与组合的意义、排列数与组合数的计算公式、二项式定理．本章学习难点：1.正确熟练地运用两个基本原理来分析和解决与排列、组合有关的应用题；2．对有关符号、公式的认识以及对它们的变形或论证．●学法探究计数原理是高中数学相对独立的内容，不论是内容还是思维方法，与其他章节都有很大不同，因此理解体会这部分内容，掌握常用的思维方法和解题技巧，是学好这部分的关键．1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法．把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点．2．排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独特的思考方法，应理解掌握．关于排列组合问题，除了教材上所提到的几种方法外，有时还经常用到以下两种方法：(1)间接法：把不符合条件的排列数或组合数剔除掉．(2)穷举法：把符合条件的所有排列或组合一一写出来．3．二项式定理是组合思想方法的具体应用，要体会理解这一定理的组合方法的证明，掌握展开式的通项公式及二项式系数的性质．1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．通过实例总结出分类加法计数原理，理解分类加法计数原理；2．通过实例总结出分步乘法计数原理，理解分步乘法计数原理；3．会利用两个计数原理解决一些简单问题．本节重点：归纳得出两个计数原理，能运用它们解决简单的实际问题．本节难点：正确理解“完成一件事情”的含义，正确区分“分类”与“分步”．1．分类加法计数原理也称为分类计数原理、加法原理，应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪种办法中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．(3)确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”．2．分步乘法计数原理也称为分步计数原理、乘法原理，应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几个步骤才能完成这件事．(2)解决“分步”问题，用分步乘法计数原理，需要将一件事分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成了这件事，注意各个步骤之间的连续性．(3)在每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，即不漏步也不重步，二是每个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代．1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．2．分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．m＋nm1＋m2＋…＋mn3．分步乘计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．4．分类计数乘法原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．m×nm1×m2×…×mn5．两个原理的联系与区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的 问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是 问题，其中各种方法 ，其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是 问题，各个步骤中的方法 ，只有各个步骤都完成才算完成这件事．不同方法的种数相互独立分步互相依存分类[例1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[点评] 解决该类问题应从简单入手分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同的角度考虑问题．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种).[例2] 已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？[解析] 圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．[点评] 在用分步乘法计数原理处理问题时，要正确“设计”分步的步骤，即共分几步才能完成该件事，每一步的具体内容是什么，各步的方法数又是多少，最后用分步乘法计数原理求解．本题中需要完成的事是确定一组a，b，r的值，而确定每一个值的方法数又是明确可知的，故应分步完成．(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践 ，则有多少种不同分配方案？[解析] (1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.[例3] 一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[分析] 判别一种分法是“分类”还是“分步”的标准是看这种方法是否独立地完成这件事情．如果能完成就是“分类”，如果不能单独完成，就是“分步”．[解析] (1)从书架上任取一本书，有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法．只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法．由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．[答案] 9 20[解析] 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．[例4] 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[分析] 要分清完成这件事是分类还是分步，第(1)小题分三类，即从国画或油画或水彩画中选一幅；第(2)小题要分步，即分别从国画、油画、水彩画中各选一幅才能完成这件事，故可用分步乘法计数原理；第(3)小题选先分类后分步，在每一类中用分步乘法计数原理，最后用分类加法计数原理．[解析] (1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．[点评] 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析] 分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35种取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42种取法．∴共有取法：30＋35＋42＝107(种)．一、选择题1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则xy可表示不同的值的个数是( )A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9[答案] D[解析] x，y在各自的取值集合中各选一个值相乘求积这件事，可分为两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24，4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同值．[答案] A[解析] 1名同学有5种选择，则6名同学共有56种选择．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )A．300种 B．240种 C．144种 D．96种[答案] B[解析] 能去巴黎的有4个人，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有5个人，4个人，3个人，故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.二、填空题4．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．[答案] 4[解析] 分两类：3个奇数两两相加，3个偶数两两相加，都得偶数，又1＋5＝2＋4,3＋5＝2＋6，所以可得不同的偶数有3＋3－2＝4(个)．5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示)[答案] 48[解析] 先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．三、解答题6．三年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取1名男生和1名女生作代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？[解析] 男生为38人，女生为18人，根据本题题意要完成一件事情需分2个步骤：第一步从男生38人中任选1人，有38种不同的选法；第二步从女生18人中任选1人，有18种不同的选法．只有上述两步都完成后，才能完成从男生中和女生中各选1名这件事，根据分步乘法计数原理共有38×18＝684(种)选取代表的方法．
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