2020-2021学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷（含解析））

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2020-2021学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（　　）A．∅ B．{﹣2，2} C．{﹣2，0，2} D．{﹣3，﹣2，2，3}2．（5分）命题：“∃x≥0，2x﹣1≤0”的否定为（　　）A．∀x≥0，2x﹣1＞0 B．∀x＜0，2x﹣1＞0 C．∀x≥0，2x﹣1≤0 D．∀x＜0，2x﹣1≤03．（5分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为（　　）A． B． C． D．4．（5分）某电脑安装了“Windows”和“Linux”两个独立的操作系统．每个系统可能正常或不正常，至少有一个系统正常该电脑才能使用．设事件A＝“Windows系统正常”，B＝“Linux系统正常”．以1表示系统正常，0表示系统不正常，用x1，x2分别表示“Windows”和“Linux”两个系统的状态，（x1，x2）表示电脑的状态，则事件A∪B＝（　　）A．{（0，0），（0，1）} B．{（1，0），（1，1）} C．{（0，1），（1，0），（1，1）} D．{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}5．（5分）函数（e为自然对数的底数）的部分图象大致为（　　）A． B． C． D．6．（5分）已知正实数满足a+2b＝1，则+最小值为（　　）A．8 B．9 C．10 D．117．（5分）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额﹣综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，专项扣除指基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等，税率与速算扣除数见表：老王全年综合所得收入为200000元，缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么老王全年应缴纳综合所得个税为（　　）A．1279.2元 B．1744元 C．3079.2元 D．7744元8．（5分）设点集M＝{P|P是指数函数与幂函数图象的公共点或对数函数与幂函数图象的公共点}，下列选项中的点是集合M的元素的为（　　）A． B． C． D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）下列是“x＞y”成立的充分条件的是（　　）A．a2x＞a2y（a∈R） B．x3＞y3 C．＞y D．10．（5分）要得到函数y＝sin4x的图象，只需将函数y＝cos4x的图象（　　）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度11．（5分）在下列区间中，存在函数的零点的是（　　）A． B． C．（1，2） D．（2，3）12．（5分）设函数f（x）与g（x）的定义域分别为D1，D2，∀x1∈D1，∃唯一的x2∈D2，使得f（x1）g（x2）＝1．下列选项中的函数满足题设的是（　　）A．f（x）＝2x， B．f（x）＝lnx， C．f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝1﹣x3 D．f（x）＝2+sinx，g（x）＝tanx三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知b克盐水中含有a（b＞a＞0）克盐，若给盐水加热，蒸发了m（0＜m＜b﹣a）克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：　 　．14．（5分）已知函数f（x）满足f（1）＝2，且对任意的实数x，都有f（x+1）＝f（x）+1成立，则f（2021）＝　 　．15．（5分）若如表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是　 　，其正确的值为　 　．16．（5分）已知函数y＝sinx与函数y＝2cosx﹣1在区间上的图象的交点为P0，过点P0作x轴的垂线l，垂足为H，l与函数y＝tanx的图象交于点P1，则线段P1H的长为 　 　．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①f（x）的图象关于直线对称，②f（x）的图象关于点对称，③f（x）的图象上最高点中，有一个点的横坐标为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知函数的振幅为2，初相为，最小正周期不小于π，且______．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|2﹣a≤x≤2a+1}．（1）若a＝1，求（∁UA）∪B；（2）若B≠∅，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数．当0＜x＜2时，，且其图象如图所示．（1）求实数a，b的值及函数f（x）在区间（﹣2，2）上的解析式；（2）判断并证明函数f（x）在区间（﹣2，0）上的单调性．20．（12分）近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网．修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x（单位：米3）成正比，比例系数为0.12．为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电．设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积x（单位：米3）之间的函数关系为（x≥0，k为常数）．记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F（单位：万元）．（1）解释C（0）的实际意义，并写出F关于x的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小，并求出最小值．（3）要使F不超过140万元，求x的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）．（1）证明：f（2x1）+f（2x2）≥2f（x1+x2）；（2）若f（x1）＝2，f（x2）＝3，f（x1x2）＝8，求a的值；（3）∀x∈R，恒成立，求a的取值范围．22．（12分）设函数y＝f（x）的定义域为A，区间I⊆A．如果∃x1，x2∈I，使得f（x1）f（x2）＜0，那么称函数y＝f（x）为区间I上的“变号函数”．（1）判断下列函数是否为区间I上的“变号函数”，并说明理由．①p（x）＝1﹣3x，I＝；②q（x）＝sinx﹣cosx，I＝；（2）若函数r（x）＝ax2+（1﹣2a）x+1﹣a为区间上的“变号函数”．求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（　　）A．∅ B．{﹣2，2} C．{﹣2，0，2} D．{﹣3，﹣2，2，3}【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1，x∈Z}，∴A∩B＝{﹣2，2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题：“∃x≥0，2x﹣1≤0”的否定为（　　）A．∀x≥0，2x﹣1＞0 B．∀x＜0，2x﹣1＞0 C．∀x≥0，2x﹣1≤0 D．∀x＜0，2x﹣1≤0【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题：“∃x≥0，2x﹣1≤0”为特称命题，其否定是：∀x≥0，2x﹣1＞0，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．3．（5分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为（　　）A． B． C． D．【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，再利用列举法求出点数之和是3的倍数但不是2的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率．【解答】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，基本事件总数n＝6×6＝36，点数之和是3的倍数但不是2的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），共6个，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为P＝＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）某电脑安装了“Windows”和“Linux”两个独立的操作系统．每个系统可能正常或不正常，至少有一个系统正常该电脑才能使用．设事件A＝“Windows系统正常”，B＝“Linux系统正常”．以1表示系统正常，0表示系统不正常，用x1，x2分别表示“Windows”和“Linux”两个系统的状态，（x1，x2）表示电脑的状态，则事件A∪B＝（　　）A．{（0，0），（0，1）} B．{（1，0），（1，1）} C．{（0，1），（1，0），（1，1）} D．{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}【分析】利用列举法能求出A∪B．【解答】解：设事件A＝“Windows系统正常”，B＝“Linux系统正常”．“Windows”和“Linux”两个独立的操作系统至少有一个系统正常该电脑才能使用．以1表示系统正常，0表示系统不正常，用x1，x2分别表示“Windows”和“Linux”两个系统的状态，（x1，x2）表示电脑的状态，则事件A∪B＝{（0，1），（1，0），（1，1）}．故选：C．【点评】本题考查事件的表示，涉及到事件和等基础知识，考查应用意识、创新意识等核心素养，是基础题．5．（5分）函数（e为自然对数的底数）的部分图象大致为（　　）A． B． C． D．【分析】根据条件判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，即可排除错误选项．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除BD，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除C，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，通常利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法解决此类题目，是基础题．6．（5分）已知正实数满足a+2b＝1，则+最小值为（　　）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】由题意可得＝（a+2b）（），展开后，运用基本不等式可得所求最小值．【解答】解：因为正实数满足a+2b＝1，所以＝（a+2b）（）＝5++≥5+2＝9．当且仅当a＝b＝时，上式取得等号，则的最小值为9．故选：B．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和运算能力，属于基础题．7．（5分）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额﹣综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，专项扣除指基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等，税率与速算扣除数见表：老王全年综合所得收入为200000元，缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么老王全年应缴纳综合所得个税为（　　）A．1279.2元 B．1744元 C．3079.2元 D．7744元【分析】先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额．【解答】解：专项扣除总额为：200000×（8%+2%+1%+9%）＝40000元，应纳税所得额为：200000﹣60000﹣52800﹣4560﹣40000＝42640元，所以个税税额为：42640×10%﹣2520＝1744元．故选：B．【点评】本题考查了分段函数在实际生活中的应用，解题的关键是正确理解题意，正确利用表中的数据，根据所得收入的范围选择恰当的求解公式进行计算，属于中档题．8．（5分）设点集M＝{P|P是指数函数与幂函数图象的公共点或对数函数与幂函数图象的公共点}，下列选项中的点是集合M的元素的为（　　）A． B． C． D．【分析】只要判断点能否同时在2个函数的图象上即可得出结论．【解答】解：点集M＝{P|P是指数函数与幂函数图象的公共点或对数函数与幂函数图象的公共点}，设指数函数为g（x）＝bx（b＞0，b≠1），幂函数h（x）＝xα，对数函数为f（x）＝logax （a＞0 a≠1），∵g（1）＝b，h（1）＝1α＝1，f（1）＝0，故（1，）不是M中的元素，故排除A；（1，﹣）不是M中的元素，故排除B；∵g（﹣2）＝，h（﹣2）＝（﹣2）α，f（﹣2）不存在，故当b＝2，α＝﹣2时，g（﹣2）＝h（﹣2），故（﹣2，）是M中的元素，故选：D．【点评】本题主要考查新定义，与指数函数、对数函数、幂函数有关的新定义，定义的实质是解指数方程和对数方程，属于中档题．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）下列是“x＞y”成立的充分条件的是（　　）A．a2x＞a2y（a∈R） B．x3＞y3 C．＞y D．【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质逐项分析，即可得到答案．【解答】解：对于A选项，a2x＞a2y（a∈R），因为a2＞0，所以x＞y，故“a2x＞a2y（a∈R）”是“x＞y”成立的充分条件，故选项A正确；对于B选项，若x3＞y3，则x＞y，故“x3＞y3”是“x＞y”成立的充分条件，故选项B正确；对于C选项，当x＝﹣2，y＝﹣1时，满足＞y，但不满足x＞y，故“＞y”不是“x＞y”成立的充分条件，故选项C错误；对于D选项，若，则x＞y＞0，故“”是“x＞y”成立的充分条件，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，考查了不等式基本性质的应用，属于基础题．10．（5分）要得到函数y＝sin4x的图象，只需将函数y＝cos4x的图象（　　）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【分析】由题意利用诱导公式把函数的解析式化为同名的，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：要得到函数y＝sin4x的图象，只需将函数y＝cos4x＝sin（4x+）＝sin4（x+）的图象，向右平移个单位长度即可，或向左平移个单位长度．故选：BC．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．．11．（5分）在下列区间中，存在函数的零点的是（　　）A． B． C．（1，2） D．（2，3）【分析】根据题意，求出函数的导数，分析f（x）的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx﹣x+，其定义域为（0，+∞），其导数f′（x）＝﹣1＝，在区间（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在区间（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，依次分析选项：对于A，f（x）在（0，）上递增，f（）＝ln﹣+＝﹣﹣＜0，f（）＝ln﹣+＝1﹣ln2＝ln＞0，在f（x）在（0，）上存在零点，A正确，对于B，f（x）在（，1）上递增，f（）＝1﹣ln2＞0，f（1）＝ln1﹣1+＝＞0，在f（x）在（，1）上不存在零点，B错误，对于C，f（x）在（1，2）上递减，f（1）＝＞0，f（2）＝ln2﹣2+＝ln2﹣＞0，在f（x）在（1，2）上不存在零点，C错误，对于D，f（x）在（2，3）上递减，f（2）＝ln2﹣＞0，f（3）＝ln3﹣3+＝ln3﹣＜0，在f（x）在（2，3）上存在零点，D正确，故选：AD．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．12．（5分）设函数f（x）与g（x）的定义域分别为D1，D2，∀x1∈D1，∃唯一的x2∈D2，使得f（x1）g（x2）＝1．下列选项中的函数满足题设的是（　　）A．f（x）＝2x， B．f（x）＝lnx， C．f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝1﹣x3 D．f（x）＝2+sinx，g（x）＝tanx【分析】利用题中给出的条件，首先确定f（x1）≠0，然后对选项中的函数根据条件逐一分析判断即可．【解答】解：由题意可知，：∀x1∈D1，∃唯一的x2∈D2，使得f（x1）g（x2）＝1，若f（x1）＝0，则f（x1）g（x2）＝0，不符合题意，故f（x1）≠0，B选项中，f（x）＝lnx，则f（1）＝ln1＝0，不符合题意，故选项B错误；D选项中，若，则f（x1）＝2+sinx1＝2﹣1＝1，因为得f（x1）g（x2）＝1，所以g（x2）＝tanx2＝1，此时x2＝，与条件，∃唯一的x2矛盾，故选项D错误；选项A，C中的函数g（x）均为R上的单调函数，故无论f（x）为值域中的任何一个数，g（x）中都有唯一的倒数满足条件，故选项A，C正确．故选：AC．【点评】本题考查了信息题，解题的关键是正确理解题中给出的信息，转化为所熟悉的问题进行研究，考查了学生转化化归与逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知b克盐水中含有a（b＞a＞0）克盐，若给盐水加热，蒸发了m（0＜m＜b﹣a）克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：　　．【分析】直接利用不等式的性质，溶液浓度关系式求出结果．【解答】解：根据题意：b克盐水中含有a（b＞a＞0）克盐，所以浓度为，蒸发了m（0＜m＜b﹣a）克水后盐水更咸了，即浓度变为，即．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，溶液浓度关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）满足f（1）＝2，且对任意的实数x，都有f（x+1）＝f（x）+1成立，则f（2021）＝　2022　．【分析】由已知可得f（2021）＝f（1）+2020，从而计算可得结论．【解答】解：因为对任意的实数x，都有f（x+1）＝f（x）+1成立，则f（2021）＝f（2020）+1＝f（2019）+2＝…＝f（1）+2020，又f（1）＝2，所以f（2021）＝2+2020＝2022．故答案为：2022．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，属于基础题．15．（5分）若如表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是　lg25　，其正确的值为　2（a+c）　．【分析】利用对数的运算法则直接求解．【解答】解：由对数的运算法则得：，∴表中lg25错误，lg25＝2（a+c）．故答案为：lg25，2（a+c）．【点评】本题考查对数的运算，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知函数y＝sinx与函数y＝2cosx﹣1在区间上的图象的交点为P0，过点P0作x轴的垂线l，垂足为H，l与函数y＝tanx的图象交于点P1，则线段P1H的长为 　　．【分析】作出函数的图象，设P0（x0，y0），根据图象关系求出点的坐标即可．【解答】解：设P0（x0，y0），则H（x0，0），P1（x0，tanx0），∵y＝sinx与函数y＝2cosx﹣1在区间上的图象的交点为P0，∴sinx0＝2cosx0﹣1＞0，则cosx0＞0，代入sin2x0+cos2x0＝1得sinx0＝，cosx0＝，则tanx0＝＝，则|P1H|＝|tanx0|＝，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，作出函数图象，求出点的坐标，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①f（x）的图象关于直线对称，②f（x）的图象关于点对称，③f（x）的图象上最高点中，有一个点的横坐标为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知函数的振幅为2，初相为，最小正周期不小于π，且______．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x的值．【分析】（1）先利用最值求出A，初相求出φ，由周期得到ω的范围，若选①：利用整体代换的方法以及正弦函数的对称轴列出等式，求出ω即可；若选②：利用整体代换的方法以及正弦函数的对称中心列出等式，求出ω即可；若选③：利用特殊点的坐标列出等式，求出ω即可；（2）由x的范围分别求出ωx+φ的范围，再利用正弦函数的性质分别求解最值即可．【解答】解：（1）由题意可知，A＝2，φ＝，最小正周期，解得0＜ω≤2；若选①：，即，则当k＝0时，，故；若选②：，即ω＝﹣6k+2（k∈Z），则当k＝0时，ω＝2，故；若选③：，即ω＝12k+1（k∈Z），则当k＝0时，ω＝1，故；（2）由（1）可知，若选①：，当x∈[﹣π，0]时，，故当，即x＝0时，，当，即x＝﹣π时，；若选②：，当x∈[﹣π，0]时，，故当，即时，，当，即时，f（x）min＝﹣2；若选③：，当x∈[﹣π，0]时，，故当，即x＝0时，；当，即时，．【点评】本题考查了三角函数模型解析式的求解，三角函数最值的求解，在求解函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式时，利用最值求A，利用周期求ω，利用特殊值求解φ，属于中档题．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|2﹣a≤x≤2a+1}．（1）若a＝1，求（∁UA）∪B；（2）若B≠∅，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出集合A，B，然后由集合补集以及交集的定义求解即可；（2）由B不是空集得到2a+1≥2﹣a，将“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，转化为B⊆A，由子集的定义列出不等关系求解即可．【解答】解：（1）若a＝1，则A＝{x|x2﹣6x+5≤0}＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤3}所以∁UA＝{x|x＜1或x＞5}，故（∁UA）∪B＝{x|x≤3或x＞5}；（2）若B≠∅，则2a+1≥2﹣a，即，又因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B⊆A，则有，解得a≤1，综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查了集合的补集与交集的运算，考查了充分条件与必要条件的应用，涉及了一元二次不等式的解法、空集的理解和应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数．当0＜x＜2时，，且其图象如图所示．（1）求实数a，b的值及函数f（x）在区间（﹣2，2）上的解析式；（2）判断并证明函数f（x）在区间（﹣2，0）上的单调性．【分析】（1）根据题意，由函数的图象可得f（）＝loga＝0，f（1）＝loga＝1，解可得a、b的值，结合函数的奇偶性求出f（x）的解析式，即可得答案，（2）根据题意，由（1）中f（x）在（﹣2，0）上的解析式，设﹣2＜x1＜x2＜0，由作差法分析可得结论．【解答】解：（1）根据题意，当0＜x＜2时，，由函数的图象可得：f（）＝loga＝0，f（1）＝loga＝1，解可得：b＝1，a＝2，则当0＜x＜2时，f（x）＝log2，函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，则f（0）＝0，当﹣2＜x＜0时，有0＜﹣x＜2，则f（﹣x）＝log2，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2＝log2，故f（x）＝．（2）f（x）在区间（﹣2，0）上为增函数，证明：在区间（﹣2，0）上，f（x）＝log2，设﹣2＜x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）＝log2﹣log2＝log2＝log2，又由﹣2＜x1＜x2＜0，则0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x）在（﹣2，0）上为增函数．【点评】本题考查函数解析式的计算以及单调性的证明，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．20．（12分）近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网．修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x（单位：米3）成正比，比例系数为0.12．为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电．设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积x（单位：米3）之间的函数关系为（x≥0，k为常数）．记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F（单位：万元）．（1）解释C（0）的实际意义，并写出F关于x的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小，并求出最小值．（3）要使F不超过140万元，求x的取值范围．【分析】（1）C（0）的实际意义是未修建沼气发电池时合作社每年消耗的电费，由C（0）＝24求得k，再由题意可得F关于x的函数关系；（2）直接利用基本不等式求最值；（3）由F＝≤140，化为一元二次不等式求解得答案．【解答】解：（1）C（0）的实际意义是未修建沼气发电池时合作社每年消耗的电费，由C（0）＝，得k＝1200，∴F＝16+0.12x＝（x≥0）；（2）∵F＝＝＝90，当且仅当，即x＝350时取等号．∴该合作社应修建容积为350米3的沼气发电池，可使F最小，最小值为90万元；（3）由F＝≤140，得3x2﹣3350x+305000≤0，解得：100≤x≤．∴x的取值范围为[100，]．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）．（1）证明：f（2x1）+f（2x2）≥2f（x1+x2）；（2）若f（x1）＝2，f（x2）＝3，f（x1x2）＝8，求a的值；（3）∀x∈R，恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）将2x1与2x2代入解析式，然后利用基本不等式即可证得结论；（2）利用指数式化对数式的方法求出x1、x2与x1x2，然后建立等式，最后根据对数的运算性质进行求解即可；（3）讨论a与1的大小，然后利用指数式化对数的方法分离参数a，最后研究不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．【解答】（1）证明：由题意可得f（2x1）+f（2x2）＝，因为，所以f（2x1）+f（2x2）＝≥＝2f（x1+x2）；（2）解：因为f（x1）＝2，f（x2）＝3，f（x1x2）＝8，所以，，，则，，，所以＝，则lna＝，所以a＝；（3）解：x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，①若0＜a＜1，则x≥，即，令g（x）＝，当x＝0时，g（0）＝0，当x＞0时，g（x）＝＝，当x＜0时，g（x）＝＝≥，所以≤g（x）＝≤1，若恒成立，则＝，因为0＜a＜1，所以即a≥，即a的取值范围是，②若a＞1，则x≤，即，由①可知≤≤1，若恒成立，则loga2≥1＝logaa，而a＞1，所以a的取值范围是（1，2]，综上所述：a的取值范围是∪（1，2]．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题，以及基本不等式的应用，同时考查了分类讨论的数学思想和转化能力，属于中档题．22．（12分）设函数y＝f（x）的定义域为A，区间I⊆A．如果∃x1，x2∈I，使得f（x1）f（x2）＜0，那么称函数y＝f（x）为区间I上的“变号函数”．（1）判断下列函数是否为区间I上的“变号函数”，并说明理由．①p（x）＝1﹣3x，I＝；②q（x）＝sinx﹣cosx，I＝；（2）若函数r（x）＝ax2+（1﹣2a）x+1﹣a为区间上的“变号函数”．求实数a的取值范围．【分析】（1）根据“变号函数”的定义，判断函数中是否存在①不是，x1，x2即可．（2）分析函数r（x）＝ax2+（1﹣2a）x+1﹣a，当a＝0时，r（x）在[﹣，1]上单调递减，当a≠0时，函数r（x）在[﹣，1]上单调递减，可得r（x）不是“变号函数”，只需说明端点值满足即可，代入r（﹣）•r（1）＜0，可求得a的范围．【解答】解：（1）①不是，因为x≥，则1﹣3x≤0恒成立，∀x1，x2≥，都有p（x1）p（x2）≥0，p（x）不是“变号函数”．②是，取x1∈（0，），x2∈（，），则由q（x1）＝sinx1﹣cosx1＜0，q（x2）＝sinx2﹣cosx2＞0，所以∃x1，x2∈（0，），q（x1）q（x2）＜0，即q（x）是“变号函数”．（2）函数r（x）＝ax2+（1﹣2a）x+1﹣a，当a＝0时，r（x）＝x+1，r（x）＞0恒成立，不是“变号函数”，当a≠0时，对称轴为x＝﹣＝1﹣，当0＜a≤时，对称轴为x≤﹣，开口向上，r（x）在[﹣，1]上单调递增，若r（x）是“变号函数”，只需，解得a＜﹣2，不成立，当a＞时，对称轴﹣＜x＜1，r（x）在[﹣，1﹣]上单调递减，在[1﹣，1]上单调递增，若r（x）是“变号函数”，则r（1﹣）＜0，且r（﹣）＞0或r（1）＞0，解得a＞，当a＜0时，对称轴x＞1，开口向下，r（x）在[﹣，1]上单调递增，所以若函数r（x）在[﹣，1]上“变号函数”，只需，解得a＜﹣2，所以a＞或a＜﹣2，所以a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【点评】本题考查函数的新定义，解题中注意审题，属于中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/12/7 10:36:23；用户：每日一练；邮箱：15262755951；学号：40392407级数全年应纳税所得额所在区间（单位：元）税率（%）速算扣除数1[0，36000]302（36000，144000]1025203（144000，300000]20169204（300000，420000]25319205（420000，660000]30529206（660000，960000]35859207（960000，+∞）45181920对数lg6lg2lg3lg12lg25值1+b﹣c1﹣a﹣ca+b﹣a+b﹣2c+2（a+c）2级数全年应纳税所得额所在区间（单位：元）税率（%）速算扣除数1[0，36000]302（36000，144000]1025203（144000，300000]20169204（300000，420000]25319205（420000，660000]30529206（660000，960000]35859207（960000，+∞）45181920对数lg6lg2lg3lg12lg25值1+b﹣c1﹣a﹣ca+b﹣a+b﹣2c+2（a+c）2