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陕西省咸阳市泾阳县2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
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2020-2021学年陕西省咸阳市泾阳县九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．sin45°+cos45°的值为（ ）A．1 B．2 C． D．22．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）A． B． C． D．3．反比例函数的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．34．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（ ）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0）、（1，0） D．（0，﹣2）5．如图，在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大，使放大后的三角形与△ABO的相似比为2：1，若点AB的对应点C、D都在y轴左侧，则点A的对应点C的坐标为（ ）A．（1，﹣2） B．（4，﹣8） C．（﹣4，8） D．（﹣1，2）6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（ ）A．4.8 B．2 C．5 D．67．某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5m，某一时刻甲乙木杆在阳光下的影子长分别为1.24m和1m，则甲木杆高度为（ ）A．1.24m B．1.6m C．1.86m D．1.5m8．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝16009．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）A． B． C． D．10．抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），其图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0．其中，正确的说法个数为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分11．已知x＝1是一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0的一个解，则m的值是 ．12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．聪聪每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回袋子，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25，则袋子中红球的个数可能是 个．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为 ．14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）15．解方程：3x（x+1）＝3x+3．16．画出图中几何体的三视图．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半和交于点A．（1）求点M、A的坐标；（2）连接AM、OM，求∠AOM的正切值．18．如图在△ABC中，AB＝，tanB＝，∠C＝45°，求△ABC的周长．19．电源两端的电压U保持不变，电流强度I与总电阻R成反比例．在实验课上，调整滑动变阻器的电阻，改变灯泡亮度，实验测得某电路中总电阻R为15Ω时，通过的电流强度I为0.4A．（1）求I关于R的函数表达式；（2）若电路中总电阻R为8Ω时，求通过的电流强度I的值．20．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50°的方向，求河宽（结果精确到 1m）．21．乘客通过西安某地铁站入口时，有A、B、C、D四个闸口，假设乘客通过每个闸口的可能性相同，乘客可随机选择一个闸口通过．当甲、乙两名乘客先后通过此地铁闸口时，请用画树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．22．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形23．雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．24．如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．25．在正方形ABCD中，点M是线段BC延长线上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．（1）如图1，过点M作MP∥CD交BE的延长线于点P，求证：①BM＝PM；②BD+2DE＝BM；（2）如图2，连接BN交AD于点F，若tan∠ABF＝，求证：CN＝3CM． 参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．sin45°+cos45°的值为（ ）A．1 B．2 C． D．2【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式＝+＝．故选：C．2．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．解：从上面看可得到一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两旁分别有一条纵向的虚线．故选：B．3．反比例函数的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据反比例函数的性质可知，当函数图象在第一、第三象限，则反比例函数的系数大于0，据此列不等式解答即可．解：∵反比例函数的图象在第一、第三象限，∴1﹣m＞0，∴m＜1，符合条件的答案只有A，故选：A．4．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（ ）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0）、（1，0） D．（0，﹣2）【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标．解：当x＝0时，y＝﹣2，∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．故选：D．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大，使放大后的三角形与△ABO的相似比为2：1，若点AB的对应点C、D都在y轴左侧，则点A的对应点C的坐标为（ ）A．（1，﹣2） B．（4，﹣8） C．（﹣4，8） D．（﹣1，2）【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点关系，将对应点乘以2，进而得出答案．解：∵△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大，使放大后的三角形与△ABO的相似比为2：1，点AB的对应点C、D都在y轴左侧，∴点A的对应点C的坐标为（﹣2×2，4×2）即（﹣4，8）．故选：C．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（ ）A．4.8 B．2 C．5 D．6【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AB＝5，再由菱形面积得S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF，即×6×8＝5EF，∴EF＝4.8．故选：A．7．某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5m，某一时刻甲乙木杆在阳光下的影子长分别为1.24m和1m，则甲木杆高度为（ ）A．1.24m B．1.6m C．1.86m D．1.5m【分析】设甲杆的高度为xm，利用在同一时刻物高与影长的比相等，列出方程解答即可．解：设甲杆的高度为xm，根据题意得：＝，解得：x＝1.86，故选：C．8．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600故选：B．9．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）A． B． C． D．【分析】在Rt△ABC中，由tanα＝，可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，根据勾股定理求出AB＝5xm，那么A′B′＝AB＝5xm．在Rt△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，求出x＝1，然后利用余弦函数的定义即可求解．解：如图．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，∴AB＝＝5xm，∴A′B′＝AB＝5x（m）．∵在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣1）m，B′C＝（3x+1）m，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3m，B′C＝4m，A′B′＝5m，∴cosβ＝．故选：A．10．抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），其图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0．其中，正确的说法个数为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断．解：①根据图象与x轴的交点（﹣1，0）、（3，0），对称轴x＝＝1．即﹣＝1，2a+b＝0．故①正确．②根据图象，当﹣1＜x＜3时，y＜0；故②正确．③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1＜x2时，y1＜y2；故③错误．④当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故④正确．故正确的为：①②④，共3个．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分11．已知x＝1是一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0的一个解，则m的值是 3 ．【分析】把x＝1代入mx2﹣2x﹣1＝0得m﹣2﹣1＝0，然后解关于m的方程即可．解：把x＝1代入mx2﹣2x﹣1＝0得m﹣2﹣1＝0，解得m＝3．故答案为3．12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．聪聪每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回袋子，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25，则袋子中红球的个数可能是 5 个．【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：＝0.25，解得：x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故答案为：5．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为 ﹣6 ．【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．解：连接AC，交y轴于点D，∵四边形ABCO为菱形，∴AC⊥OB，且CD＝AD，BD＝OD，∵菱形OABC的面积为12，∴△CDO的面积为3，∴|k|＝6，∵反比例函数图象位于第二象限，∴k＜0，则k＝﹣6．故答案为：﹣6．14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 2 ．【分析】连接DE，根据矩形的性质得到AB＝CD，推出四边形BEDF是平行四边形，得到DE＝BF，要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，作D点关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于E，则DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，根据勾股定理即可得到结论．解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE＝BF，要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，作D点关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于E，则DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，∵AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，DD′＝2AD＝6，∴CD′＝＝＝2，即BF+CE的最小值为2，故答案为：2．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）15．解方程：3x（x+1）＝3x+3．【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：3x（x+1）＝3x+3，3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，3（x+1）（x﹣1 ）＝0，x﹣1＝0，x+1＝0，x1＝1，x2＝﹣1．16．画出图中几何体的三视图．【分析】该几何体的主视图为上面长方形，下面相邻的1个长方形；左视图为上面长方形，下面相邻的1个长方形；俯视图为1个正方形，中间一个圆．解：如图所示：17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半和交于点A．（1）求点M、A的坐标；（2）连接AM、OM，求∠AOM的正切值．【分析】（1）根据平移规律写出抛物线解析式，再求出M、A坐标即可；（2）根据抛物线的顶点坐标即可得到结论．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，∴顶点M（1，﹣3），令x＝0，则y＝（0﹣1）2﹣3＝﹣2，∴点A（0，﹣2）；（2）∵M（1，﹣3），∴∠AOM的正切值＝．18．如图在△ABC中，AB＝，tanB＝，∠C＝45°，求△ABC的周长．【分析】作AD⊥BC于D，由三角函数求出AD、BD，证出△ACD是等腰直角三角形，得出CD＝AD＝1，BC＝BD+CD＝3，AC＝AD＝，即可得出结果．解：作AD⊥BC于D，如图所示：∵tanB＝＝，AB＝，∴AD＝1，BD＝2，∵∠C＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝1，∴BC＝BD+CD＝3，AC＝AD＝，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝+3+．19．电源两端的电压U保持不变，电流强度I与总电阻R成反比例．在实验课上，调整滑动变阻器的电阻，改变灯泡亮度，实验测得某电路中总电阻R为15Ω时，通过的电流强度I为0.4A．（1）求I关于R的函数表达式；（2）若电路中总电阻R为8Ω时，求通过的电流强度I的值．【分析】（1）根据电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设出I＝（U≠0）后把R＝15Ω时，I＝0.4A代入求得表达式即可；（2）将R＝20Ω代入上题求得的函数关系式后求得电流的值即可．解：（1）∵电源两端的电压U保持不变，电流强度I与总电阻R成反比例，∴I＝，把R＝15Ω时，I＝0.4A代入上式得：0.4＝，∴U＝6，∴I＝，∴电流I关于电阻R的函数表达式是I＝；（2）当R＝8Ω时，I＝＝0.75（A），答：电路中总电阻R为8Ω时，求通过的电流强度I的值0.75A．20．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50°的方向，求河宽（结果精确到 1m）．【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，根据三角函数即可求得PT的长．解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣50°＝40°，∴PT＝PQ•tan∠PQT＝180×tan40°≈151，答：河宽约为151米．21．乘客通过西安某地铁站入口时，有A、B、C、D四个闸口，假设乘客通过每个闸口的可能性相同，乘客可随机选择一个闸口通过．当甲、乙两名乘客先后通过此地铁闸口时，请用画树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙两名乘客选择不同闸口通过的结果有12种，再由概率公式求解即可．解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，甲、乙两名乘客选择不同闸口通过的结果有12种，∴甲、乙两名乘客选择不同闸口通过的概率为＝．22．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形【分析】由正方形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，可得EO＝FO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，即可证四边形AECF是菱形．【解答】证明：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE＝DF∴DO﹣DF＝BO﹣BE∴FO＝EO，且AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD∴四边形AECF是菱形23．雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．【分析】由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到＝，＝，可得＝，求得BD＝21m，得到，解得AB＝13.6，从而求解．解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m，∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得BD＝21，∴，解得AB＝13.6．即该校旗杆的高度AB为13.6m．24．如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得到，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，PE的最大值＝，此时P（，﹣）．25．在正方形ABCD中，点M是线段BC延长线上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．（1）如图1，过点M作MP∥CD交BE的延长线于点P，求证：①BM＝PM；②BD+2DE＝BM；（2）如图2，连接BN交AD于点F，若tan∠ABF＝，求证：CN＝3CM．【分析】（1）①根据正方形的四条边都相等、四个角都是直角，先证明∠CBD＝∠CDB＝45°，再由MP∥CD证明∠MBP＝∠P＝45°，则BM＝PM；②根据PM＝DN，∠P＝∠EDN，∠PEM＝∠DEN，证明△PEM≌△DEN，则PE＝DE，于是BD+2DE＝BD+PD＝BP，由BP2＝BM2+PM2＝2BM2，得BP＝BM，所以BD+2DE＝BM；（2）设正方形ABCD的边长为m，先由tan∠ABF＝证明＝，则AF＝m，DF＝m，再证明△DNF∽△ABF，则＝＝2，可以证明CM＝BC＝m，CN＝3m，于是证得CN＝3CM．【解答】（1）证明：如图1，①∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∵MP∥CD，∴∠BMP＝∠BCD＝90°，∠P＝∠CDB＝45°，∴∠MBP＝∠P＝45°，∴BM＝PM．②BM＝PM，BM＝DN，∴PM＝DN，∵∠P＝∠EDN，∠PEM＝∠DEN，∴△PEM≌△DEN（AAS），∴PE＝DE，∴PD＝PE+DE＝2DE，∴BD+2DE＝BD+PD＝BP，∵BP2＝BM2+PM2＝2BM2，∴BP＝BM，∴BD+2DE＝BM．（2）证明：如图2，设正方形ABCD的边长为m，则AD＝AB＝BC＝CD＝m，∵∠A＝90°，∴tan∠ABF＝，∵tan∠ABF＝，∴＝，∴AF＝m，DF＝m，∵DN∥AB，∴△DNF∽△ABF，∴＝＝＝2，∴DN＝2m，∵BM＝DN＝2m，∴CM＝BC＝m，∵CN＝DN+CD＝2m+m＝3m，∴＝＝3，∴CN＝3CM．
2020-2021学年陕西省咸阳市泾阳县九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．sin45°+cos45°的值为（ ）A．1 B．2 C． D．22．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）A． B． C． D．3．反比例函数的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．34．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（ ）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0）、（1，0） D．（0，﹣2）5．如图，在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大，使放大后的三角形与△ABO的相似比为2：1，若点AB的对应点C、D都在y轴左侧，则点A的对应点C的坐标为（ ）A．（1，﹣2） B．（4，﹣8） C．（﹣4，8） D．（﹣1，2）6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（ ）A．4.8 B．2 C．5 D．67．某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5m，某一时刻甲乙木杆在阳光下的影子长分别为1.24m和1m，则甲木杆高度为（ ）A．1.24m B．1.6m C．1.86m D．1.5m8．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝16009．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）A． B． C． D．10．抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），其图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0．其中，正确的说法个数为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分11．已知x＝1是一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0的一个解，则m的值是 ．12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．聪聪每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回袋子，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25，则袋子中红球的个数可能是 个．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为 ．14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）15．解方程：3x（x+1）＝3x+3．16．画出图中几何体的三视图．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半和交于点A．（1）求点M、A的坐标；（2）连接AM、OM，求∠AOM的正切值．18．如图在△ABC中，AB＝，tanB＝，∠C＝45°，求△ABC的周长．19．电源两端的电压U保持不变，电流强度I与总电阻R成反比例．在实验课上，调整滑动变阻器的电阻，改变灯泡亮度，实验测得某电路中总电阻R为15Ω时，通过的电流强度I为0.4A．（1）求I关于R的函数表达式；（2）若电路中总电阻R为8Ω时，求通过的电流强度I的值．20．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50°的方向，求河宽（结果精确到 1m）．21．乘客通过西安某地铁站入口时，有A、B、C、D四个闸口，假设乘客通过每个闸口的可能性相同，乘客可随机选择一个闸口通过．当甲、乙两名乘客先后通过此地铁闸口时，请用画树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．22．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形23．雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．24．如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．25．在正方形ABCD中，点M是线段BC延长线上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．（1）如图1，过点M作MP∥CD交BE的延长线于点P，求证：①BM＝PM；②BD+2DE＝BM；（2）如图2，连接BN交AD于点F，若tan∠ABF＝，求证：CN＝3CM． 参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．sin45°+cos45°的值为（ ）A．1 B．2 C． D．2【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式＝+＝．故选：C．2．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．解：从上面看可得到一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两旁分别有一条纵向的虚线．故选：B．3．反比例函数的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据反比例函数的性质可知，当函数图象在第一、第三象限，则反比例函数的系数大于0，据此列不等式解答即可．解：∵反比例函数的图象在第一、第三象限，∴1﹣m＞0，∴m＜1，符合条件的答案只有A，故选：A．4．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（ ）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0）、（1，0） D．（0，﹣2）【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标．解：当x＝0时，y＝﹣2，∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．故选：D．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大，使放大后的三角形与△ABO的相似比为2：1，若点AB的对应点C、D都在y轴左侧，则点A的对应点C的坐标为（ ）A．（1，﹣2） B．（4，﹣8） C．（﹣4，8） D．（﹣1，2）【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点关系，将对应点乘以2，进而得出答案．解：∵△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大，使放大后的三角形与△ABO的相似比为2：1，点AB的对应点C、D都在y轴左侧，∴点A的对应点C的坐标为（﹣2×2，4×2）即（﹣4，8）．故选：C．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（ ）A．4.8 B．2 C．5 D．6【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AB＝5，再由菱形面积得S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF，即×6×8＝5EF，∴EF＝4.8．故选：A．7．某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5m，某一时刻甲乙木杆在阳光下的影子长分别为1.24m和1m，则甲木杆高度为（ ）A．1.24m B．1.6m C．1.86m D．1.5m【分析】设甲杆的高度为xm，利用在同一时刻物高与影长的比相等，列出方程解答即可．解：设甲杆的高度为xm，根据题意得：＝，解得：x＝1.86，故选：C．8．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600故选：B．9．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）A． B． C． D．【分析】在Rt△ABC中，由tanα＝，可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，根据勾股定理求出AB＝5xm，那么A′B′＝AB＝5xm．在Rt△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，求出x＝1，然后利用余弦函数的定义即可求解．解：如图．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，∴AB＝＝5xm，∴A′B′＝AB＝5x（m）．∵在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣1）m，B′C＝（3x+1）m，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3m，B′C＝4m，A′B′＝5m，∴cosβ＝．故选：A．10．抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），其图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0．其中，正确的说法个数为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断．解：①根据图象与x轴的交点（﹣1，0）、（3，0），对称轴x＝＝1．即﹣＝1，2a+b＝0．故①正确．②根据图象，当﹣1＜x＜3时，y＜0；故②正确．③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1＜x2时，y1＜y2；故③错误．④当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故④正确．故正确的为：①②④，共3个．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分11．已知x＝1是一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0的一个解，则m的值是 3 ．【分析】把x＝1代入mx2﹣2x﹣1＝0得m﹣2﹣1＝0，然后解关于m的方程即可．解：把x＝1代入mx2﹣2x﹣1＝0得m﹣2﹣1＝0，解得m＝3．故答案为3．12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．聪聪每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回袋子，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25，则袋子中红球的个数可能是 5 个．【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：＝0.25，解得：x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故答案为：5．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为 ﹣6 ．【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．解：连接AC，交y轴于点D，∵四边形ABCO为菱形，∴AC⊥OB，且CD＝AD，BD＝OD，∵菱形OABC的面积为12，∴△CDO的面积为3，∴|k|＝6，∵反比例函数图象位于第二象限，∴k＜0，则k＝﹣6．故答案为：﹣6．14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 2 ．【分析】连接DE，根据矩形的性质得到AB＝CD，推出四边形BEDF是平行四边形，得到DE＝BF，要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，作D点关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于E，则DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，根据勾股定理即可得到结论．解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE＝BF，要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，作D点关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于E，则DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，∵AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，DD′＝2AD＝6，∴CD′＝＝＝2，即BF+CE的最小值为2，故答案为：2．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）15．解方程：3x（x+1）＝3x+3．【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：3x（x+1）＝3x+3，3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，3（x+1）（x﹣1 ）＝0，x﹣1＝0，x+1＝0，x1＝1，x2＝﹣1．16．画出图中几何体的三视图．【分析】该几何体的主视图为上面长方形，下面相邻的1个长方形；左视图为上面长方形，下面相邻的1个长方形；俯视图为1个正方形，中间一个圆．解：如图所示：17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半和交于点A．（1）求点M、A的坐标；（2）连接AM、OM，求∠AOM的正切值．【分析】（1）根据平移规律写出抛物线解析式，再求出M、A坐标即可；（2）根据抛物线的顶点坐标即可得到结论．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，∴顶点M（1，﹣3），令x＝0，则y＝（0﹣1）2﹣3＝﹣2，∴点A（0，﹣2）；（2）∵M（1，﹣3），∴∠AOM的正切值＝．18．如图在△ABC中，AB＝，tanB＝，∠C＝45°，求△ABC的周长．【分析】作AD⊥BC于D，由三角函数求出AD、BD，证出△ACD是等腰直角三角形，得出CD＝AD＝1，BC＝BD+CD＝3，AC＝AD＝，即可得出结果．解：作AD⊥BC于D，如图所示：∵tanB＝＝，AB＝，∴AD＝1，BD＝2，∵∠C＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝1，∴BC＝BD+CD＝3，AC＝AD＝，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝+3+．19．电源两端的电压U保持不变，电流强度I与总电阻R成反比例．在实验课上，调整滑动变阻器的电阻，改变灯泡亮度，实验测得某电路中总电阻R为15Ω时，通过的电流强度I为0.4A．（1）求I关于R的函数表达式；（2）若电路中总电阻R为8Ω时，求通过的电流强度I的值．【分析】（1）根据电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设出I＝（U≠0）后把R＝15Ω时，I＝0.4A代入求得表达式即可；（2）将R＝20Ω代入上题求得的函数关系式后求得电流的值即可．解：（1）∵电源两端的电压U保持不变，电流强度I与总电阻R成反比例，∴I＝，把R＝15Ω时，I＝0.4A代入上式得：0.4＝，∴U＝6，∴I＝，∴电流I关于电阻R的函数表达式是I＝；（2）当R＝8Ω时，I＝＝0.75（A），答：电路中总电阻R为8Ω时，求通过的电流强度I的值0.75A．20．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50°的方向，求河宽（结果精确到 1m）．【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，根据三角函数即可求得PT的长．解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣50°＝40°，∴PT＝PQ•tan∠PQT＝180×tan40°≈151，答：河宽约为151米．21．乘客通过西安某地铁站入口时，有A、B、C、D四个闸口，假设乘客通过每个闸口的可能性相同，乘客可随机选择一个闸口通过．当甲、乙两名乘客先后通过此地铁闸口时，请用画树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙两名乘客选择不同闸口通过的结果有12种，再由概率公式求解即可．解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，甲、乙两名乘客选择不同闸口通过的结果有12种，∴甲、乙两名乘客选择不同闸口通过的概率为＝．22．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形【分析】由正方形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，可得EO＝FO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，即可证四边形AECF是菱形．【解答】证明：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE＝DF∴DO﹣DF＝BO﹣BE∴FO＝EO，且AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD∴四边形AECF是菱形23．雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．【分析】由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到＝，＝，可得＝，求得BD＝21m，得到，解得AB＝13.6，从而求解．解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m，∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得BD＝21，∴，解得AB＝13.6．即该校旗杆的高度AB为13.6m．24．如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得到，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，PE的最大值＝，此时P（，﹣）．25．在正方形ABCD中，点M是线段BC延长线上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．（1）如图1，过点M作MP∥CD交BE的延长线于点P，求证：①BM＝PM；②BD+2DE＝BM；（2）如图2，连接BN交AD于点F，若tan∠ABF＝，求证：CN＝3CM．【分析】（1）①根据正方形的四条边都相等、四个角都是直角，先证明∠CBD＝∠CDB＝45°，再由MP∥CD证明∠MBP＝∠P＝45°，则BM＝PM；②根据PM＝DN，∠P＝∠EDN，∠PEM＝∠DEN，证明△PEM≌△DEN，则PE＝DE，于是BD+2DE＝BD+PD＝BP，由BP2＝BM2+PM2＝2BM2，得BP＝BM，所以BD+2DE＝BM；（2）设正方形ABCD的边长为m，先由tan∠ABF＝证明＝，则AF＝m，DF＝m，再证明△DNF∽△ABF，则＝＝2，可以证明CM＝BC＝m，CN＝3m，于是证得CN＝3CM．【解答】（1）证明：如图1，①∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∵MP∥CD，∴∠BMP＝∠BCD＝90°，∠P＝∠CDB＝45°，∴∠MBP＝∠P＝45°，∴BM＝PM．②BM＝PM，BM＝DN，∴PM＝DN，∵∠P＝∠EDN，∠PEM＝∠DEN，∴△PEM≌△DEN（AAS），∴PE＝DE，∴PD＝PE+DE＝2DE，∴BD+2DE＝BD+PD＝BP，∵BP2＝BM2+PM2＝2BM2，∴BP＝BM，∴BD+2DE＝BM．（2）证明：如图2，设正方形ABCD的边长为m，则AD＝AB＝BC＝CD＝m，∵∠A＝90°，∴tan∠ABF＝，∵tan∠ABF＝，∴＝，∴AF＝m，DF＝m，∵DN∥AB，∴△DNF∽△ABF，∴＝＝＝2，∴DN＝2m，∵BM＝DN＝2m，∴CM＝BC＝m，∵CN＝DN+CD＝2m+m＝3m，∴＝＝3，∴CN＝3CM．
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