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高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试学案设计
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第三章 三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时3.2简单的恒等变换 约3课时复习 约2课时课题 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、学习重点与难点重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）一、学习目标(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。二、学习重、难点1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？思考5：上图中，如何用线段分别表示sinβ和cosβ？思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考11：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据量积定义，等于什么？由此可得什么结论？ 思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？探究（二）：两角差的余弦公式的变通 思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？2、随堂练习 = 1 \* GB2 ⑴、 = 2 \* GB2 ⑵、 = 3 \* GB2 ⑶、3、知识拓展例1 例2 已知且 , 求的值. 四、反思小结1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.五、自我测评 2、 课题 §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）一、学习目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角和与差的基本三角公式 思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？思考3： 诱导公式可以实现由正弦到余弦的转化，结合 和 你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作，，这两个公式有什么特点？如何记忆？思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从、出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、tanβ有什么关系 思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作，，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？思考7：为方便起见，公式，，称为和角公式，公式，，称为差角公式。怎样理解这6个公式的逻辑联系？探究（二）：两角和与差三角公式的变通 思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α＋β)等于 思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝b，则sin(α＋β)等于 思考3：根据公式，tanα＋tanβ可变形为 思考4：sinx＋cosx能用一个三角函数表示吗？ 2、随堂练习 = 1 \* GB2 ⑴、利用和差角公式，求下列各式的值 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 2 \* GB2 ⑵、利用和差角公式，求下列各式的值 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB2 ⑶、已知是第四象限角，求的值.3、知识拓展例1.化简 = 1 \* GB2 ⑴ = 2 \* GB2 ⑵例2.已知求的值．例3.已知，求的值．四、反思小结1.两角差的余弦公式是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.2.公式与，与，与的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.3.公式都是有灵活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.五、自我测评课题 §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（第三课时）学习目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1、重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；2、难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：二倍角基本公式思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？ 思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为 思考2：根据二倍角的余弦公式，sin2α，cos2α与cos2α的关系分别如何？ 思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？ 思考4：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？ 2、随堂练习 = 1 \* GB2 ⑴．sin2230’cos2230’=__________________; = 2 \* GB2 ⑵．_________________; = 3 \* GB2 ⑶．____________________; = 4 \* GB2 ⑷．__________________. = 5 \* GB2 ⑸．__________________; = 6 \* GB2 ⑹．____________________;3、知识拓展四、反思小结1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍等，这里蕴含着换元的思想.2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.五、自我测评3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、学习目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、学习重、难点1、重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课题3.2简单的三角恒等变换（第一课时）一．学习目标掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路，不断提高从整体上把握变换过程的能力式推导。弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。深刻理解三角变换的思想，培养学生运用换元、逆向使用公式、方程等数学思想方法解决问题的能力。二、学习重、难点1、重点：三角恒等变换的内容、思路和方法，以及在积化和差、和差化积、半角公式等方面的应用。2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计。三、学习过程1、学习引导问题1：前面学过的倍角公式是什么？问题2：与有什么关系？问题3：在二倍角公式中，以代替，以代替将公式进行改写为 问题4：试以表示．问题5：（１）已知，如何求 （２）代数式变换与三角变换有什么不同呢？问题6：求证：（１） （２）问题7：上述证明中用到哪些数学思想？2、随堂练习（１）求证：。（２）已知求的值。（3）已知求证：3、知识拓展例1 化简例2 已知cosx＝cosαcosβ，求证：四、反思小结倍角公式的灵活运用，弄清倍、半关系的相对性。注意等价转化，换元、方程的思想。五、自我测评课题 3．2 简单的三角恒等变换（第二课时）一．学习目标能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力。能正确地对形如的三角函数的性质进行讨论。由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题。二、学习重、难点1、重点：灵活运用三角变换化简函数表达式，探究函数的有关性质，提升学生的探究能力。2、难点：利用三角恒等变换化简函数表达式及对函数性质的讨论。三、学习过程1、学习引导问题1：三角函数有哪些基本性质？问题2：对形如的三角函数的性质有哪些？问题3：如何求函数的周期，最大值和最小值呢？（启发学生逆用不同的和差公式进行三角恒等变换，将三角函数式化成类似于的标准形式，再进行求解。）2、随堂练习1、求函数的最大值和最小值？（改变条件，突出求函数最值的基本思路和要点）2、求函数的周期，最大值和最小值？（改变三角函数式，进一步强化三角恒等变换在化简函数式方面的关键地位）3、知识拓展例1、求函数的最值?(引导学生如何引入辅助角。之后教师进行点评总结。)例2、求函数的最值。四、反思小结通过三角变换，我们把形如的函数转化为形如的函数，从而使问题得到简化，这个过程中蕴涵了化归思想。我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．五、自我测评1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值：（1）；（2）；（3）。2、已知f（x）= sin，a为常数。（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在上最大值与最小值之和为，求a值并画出f（x）在上的图像。3、已知，（1）化简的解析式；（2）若，求，使函数为偶函数；（3）在（2）成立的条件下，求满足的x的集合。课题 3．2 简单的三角恒等变换（第三课时）一．学习目标熟练掌握求三角函数最值的常用思路和方法，进一步提高学生三角变换的能力。掌握解数学应用问题的步骤和方法，能正确的选择自变量，建立函数关系式，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，进一步理解数学建模思想。 = 3 \* GB3 ③培养学生独立思考、自主探究的能力，学会数学地思考问题、解决问题。二、学习重、难点1、重点：求三角函数式的最值，解数学应用问题的思路、步骤和方法。2、难点：如何科学地把实际问题转化为数学问题，如何选择自变量建立函数关系式。三、学习过程1、学习引导问题1、求三角函数式在某一区间上的最值的基本思路是什么？问题2、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。（给出题目之后适当启发思路关键在找出面积S与角α之间的函数关系式，然后由学生自主探究、合作交流完成整个过程并展示，再由教师点评①在求最值时注意自变量的范围；②应用问题转化为数学问题，最后结论要回归到实际问题。）2、随堂练习 = 1 \* GB2 ⑴若问题2中去掉条件“记”，要求改成“求矩形ABCD的最大面积”还有其它解决方法吗？（教师引导学生思考选择不同的自变量以寻求不同的解决方案。之后教师进行点评：①建立数学模型的关键是选择恰当的自变量，不同的自变量决定了数学模型的繁简程度；②自变量的引入通常有代数和三角两种方法，有些方法虽然无法最终解决问题，但能促进对函数模型多样性的理解。） = 2 \* GB2 ⑵已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，A、B是扇形弧上的动点，AB//PQ，ABCD是扇形的内接矩形，求矩形ABCD面积的最大值。3、知识拓展例1、2002年8月，在北京召开国际数学大会，大会会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，求sin θ的值。例2、如图所示，在一个矩形建筑物ABCD的部分周边地带开辟绿化带，使建筑物和绿化带整体构成一个更大的矩形区域AMPN，要求点B在AM边上，点D在AN边上，且对角线MN过C点。已知矩形建筑物的长|AB| = 30m，宽|AD| = 20m，绿化带造价为120元 / m 2。试问，按照此设计要求，至少要准备多少资金？四、反思小结在求有关最值问题时，常常可以设一个角为未知数，从而把实际问题转化为三角问题，然后利用三角函数的有界性、单调性、奇偶性等性质来求解。五、自我测评1 函数的最小值等于（ ）A B C D 2 △ABC中，，则函数的值的情况（ ）A 有最大值，无最小值 B 无最大值，有最小值C 有最大值且有最小值 D 无最大值且无最小值3 当时,函数的最小值是（ ）A B C D 4 函数在区间上的最小值为 5 函数有最大值，最小值，则实数____，___ 6 已知函数(1)写出函数的单调递减区间；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值 7、已知直线l1∥l2,A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1,h2。B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，求⊿ABC面积的最小值。《三角恒等变换》复习课（第一课时）一．学习目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβtan（α+β）= tan（α-β）= sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α- sin2α=2cos2α-1=1-2 sin2αtan2α=2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。三、随堂练习1、 已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求的值。2、求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°3 、化简（1）；（2）sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β。4、 设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=。5 、如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？8A E D B C（解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值）《三角恒等变换》单元测试题（第二课时）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1、已知，，，是第三象限角，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、2、已知和都是锐角，且，，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、3、已知，且，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、4、设，且是第四象限角，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、5、函数的最小正周期是 （ ）A、 B、 C、 D、、若函数为以为最小正周期的奇函数，则函数可以是 （ ） A、 B、 C、 D、6、某物体受到恒力是，产生的位移为，则恒力物体所做的功是 （ ） A、 B、 C、 D、、已知向量，，，则向量与的夹角为 （ ） A、 B、 C、 D、7、要得到函数的图像，只需要将函数的图像 （ ） A、向右平移个单位 B、向右平移个单位C、向左平移个单位 D、向左平移个单位8、已知，则式子的值为（ ）A、 B、 C、 D、9、函数的图像的一条对称轴方程是 （ ） A、 B、 C、 D、10、已知，则的值为 （ ） A、 B、 C、 D、11、已知，，且，，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、12、已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上）13、已知，，则 14、函数的最小值是 15、函数图像的对称中心是（写出通式） 16、关于函数，下列命题：①、若存在，有时，成立；②、在区间上是单调递增；③、函数的图像关于点成中心对称图像；④、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分） 已知，，试求的值．18、（本小题满分12分）已知，，令函数，且的最小正周期为．求的值；求的单调区间．19、（本小题满分12分） 已知，试求式子的值．20、（本小题满分12分）已知，．若，求的单调的递减区间；若，求的值．21、（本小题满分12分）已知函数满足下列关系式：（i）对于任意的，恒有 ；（ii）．求证：（1）； （2）为奇函数； （3）是以为周期的周期函数． cos(60－30)cos60°cos30°sin60°sin30°cos(120－60)cos120°cos60°sin120°sin60°
第三章 三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时3.2简单的恒等变换 约3课时复习 约2课时课题 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、学习重点与难点重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）一、学习目标(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。二、学习重、难点1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？思考5：上图中，如何用线段分别表示sinβ和cosβ？思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考11：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据量积定义，等于什么？由此可得什么结论？ 思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？探究（二）：两角差的余弦公式的变通 思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？2、随堂练习 = 1 \* GB2 ⑴、 = 2 \* GB2 ⑵、 = 3 \* GB2 ⑶、3、知识拓展例1 例2 已知且 , 求的值. 四、反思小结1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.五、自我测评 2、 课题 §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）一、学习目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角和与差的基本三角公式 思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？思考3： 诱导公式可以实现由正弦到余弦的转化，结合 和 你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作，，这两个公式有什么特点？如何记忆？思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从、出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、tanβ有什么关系 思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作，，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？思考7：为方便起见，公式，，称为和角公式，公式，，称为差角公式。怎样理解这6个公式的逻辑联系？探究（二）：两角和与差三角公式的变通 思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α＋β)等于 思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝b，则sin(α＋β)等于 思考3：根据公式，tanα＋tanβ可变形为 思考4：sinx＋cosx能用一个三角函数表示吗？ 2、随堂练习 = 1 \* GB2 ⑴、利用和差角公式，求下列各式的值 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 2 \* GB2 ⑵、利用和差角公式，求下列各式的值 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB2 ⑶、已知是第四象限角，求的值.3、知识拓展例1.化简 = 1 \* GB2 ⑴ = 2 \* GB2 ⑵例2.已知求的值．例3.已知，求的值．四、反思小结1.两角差的余弦公式是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.2.公式与，与，与的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.3.公式都是有灵活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.五、自我测评课题 §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（第三课时）学习目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1、重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；2、难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：二倍角基本公式思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？ 思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为 思考2：根据二倍角的余弦公式，sin2α，cos2α与cos2α的关系分别如何？ 思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？ 思考4：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？ 2、随堂练习 = 1 \* GB2 ⑴．sin2230’cos2230’=__________________; = 2 \* GB2 ⑵．_________________; = 3 \* GB2 ⑶．____________________; = 4 \* GB2 ⑷．__________________. = 5 \* GB2 ⑸．__________________; = 6 \* GB2 ⑹．____________________;3、知识拓展四、反思小结1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍等，这里蕴含着换元的思想.2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.五、自我测评3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、学习目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、学习重、难点1、重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课题3.2简单的三角恒等变换（第一课时）一．学习目标掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路，不断提高从整体上把握变换过程的能力式推导。弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。深刻理解三角变换的思想，培养学生运用换元、逆向使用公式、方程等数学思想方法解决问题的能力。二、学习重、难点1、重点：三角恒等变换的内容、思路和方法，以及在积化和差、和差化积、半角公式等方面的应用。2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计。三、学习过程1、学习引导问题1：前面学过的倍角公式是什么？问题2：与有什么关系？问题3：在二倍角公式中，以代替，以代替将公式进行改写为 问题4：试以表示．问题5：（１）已知，如何求 （２）代数式变换与三角变换有什么不同呢？问题6：求证：（１） （２）问题7：上述证明中用到哪些数学思想？2、随堂练习（１）求证：。（２）已知求的值。（3）已知求证：3、知识拓展例1 化简例2 已知cosx＝cosαcosβ，求证：四、反思小结倍角公式的灵活运用，弄清倍、半关系的相对性。注意等价转化，换元、方程的思想。五、自我测评课题 3．2 简单的三角恒等变换（第二课时）一．学习目标能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力。能正确地对形如的三角函数的性质进行讨论。由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题。二、学习重、难点1、重点：灵活运用三角变换化简函数表达式，探究函数的有关性质，提升学生的探究能力。2、难点：利用三角恒等变换化简函数表达式及对函数性质的讨论。三、学习过程1、学习引导问题1：三角函数有哪些基本性质？问题2：对形如的三角函数的性质有哪些？问题3：如何求函数的周期，最大值和最小值呢？（启发学生逆用不同的和差公式进行三角恒等变换，将三角函数式化成类似于的标准形式，再进行求解。）2、随堂练习1、求函数的最大值和最小值？（改变条件，突出求函数最值的基本思路和要点）2、求函数的周期，最大值和最小值？（改变三角函数式，进一步强化三角恒等变换在化简函数式方面的关键地位）3、知识拓展例1、求函数的最值?(引导学生如何引入辅助角。之后教师进行点评总结。)例2、求函数的最值。四、反思小结通过三角变换，我们把形如的函数转化为形如的函数，从而使问题得到简化，这个过程中蕴涵了化归思想。我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．五、自我测评1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值：（1）；（2）；（3）。2、已知f（x）= sin，a为常数。（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在上最大值与最小值之和为，求a值并画出f（x）在上的图像。3、已知，（1）化简的解析式；（2）若，求，使函数为偶函数；（3）在（2）成立的条件下，求满足的x的集合。课题 3．2 简单的三角恒等变换（第三课时）一．学习目标熟练掌握求三角函数最值的常用思路和方法，进一步提高学生三角变换的能力。掌握解数学应用问题的步骤和方法，能正确的选择自变量，建立函数关系式，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，进一步理解数学建模思想。 = 3 \* GB3 ③培养学生独立思考、自主探究的能力，学会数学地思考问题、解决问题。二、学习重、难点1、重点：求三角函数式的最值，解数学应用问题的思路、步骤和方法。2、难点：如何科学地把实际问题转化为数学问题，如何选择自变量建立函数关系式。三、学习过程1、学习引导问题1、求三角函数式在某一区间上的最值的基本思路是什么？问题2、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。（给出题目之后适当启发思路关键在找出面积S与角α之间的函数关系式，然后由学生自主探究、合作交流完成整个过程并展示，再由教师点评①在求最值时注意自变量的范围；②应用问题转化为数学问题，最后结论要回归到实际问题。）2、随堂练习 = 1 \* GB2 ⑴若问题2中去掉条件“记”，要求改成“求矩形ABCD的最大面积”还有其它解决方法吗？（教师引导学生思考选择不同的自变量以寻求不同的解决方案。之后教师进行点评：①建立数学模型的关键是选择恰当的自变量，不同的自变量决定了数学模型的繁简程度；②自变量的引入通常有代数和三角两种方法，有些方法虽然无法最终解决问题，但能促进对函数模型多样性的理解。） = 2 \* GB2 ⑵已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，A、B是扇形弧上的动点，AB//PQ，ABCD是扇形的内接矩形，求矩形ABCD面积的最大值。3、知识拓展例1、2002年8月，在北京召开国际数学大会，大会会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，求sin θ的值。例2、如图所示，在一个矩形建筑物ABCD的部分周边地带开辟绿化带，使建筑物和绿化带整体构成一个更大的矩形区域AMPN，要求点B在AM边上，点D在AN边上，且对角线MN过C点。已知矩形建筑物的长|AB| = 30m，宽|AD| = 20m，绿化带造价为120元 / m 2。试问，按照此设计要求，至少要准备多少资金？四、反思小结在求有关最值问题时，常常可以设一个角为未知数，从而把实际问题转化为三角问题，然后利用三角函数的有界性、单调性、奇偶性等性质来求解。五、自我测评1 函数的最小值等于（ ）A B C D 2 △ABC中，，则函数的值的情况（ ）A 有最大值，无最小值 B 无最大值，有最小值C 有最大值且有最小值 D 无最大值且无最小值3 当时,函数的最小值是（ ）A B C D 4 函数在区间上的最小值为 5 函数有最大值，最小值，则实数____，___ 6 已知函数(1)写出函数的单调递减区间；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值 7、已知直线l1∥l2,A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1,h2。B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，求⊿ABC面积的最小值。《三角恒等变换》复习课（第一课时）一．学习目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβtan（α+β）= tan（α-β）= sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α- sin2α=2cos2α-1=1-2 sin2αtan2α=2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。三、随堂练习1、 已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求的值。2、求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°3 、化简（1）；（2）sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β。4、 设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=。5 、如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？8A E D B C（解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值）《三角恒等变换》单元测试题（第二课时）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1、已知，，，是第三象限角，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、2、已知和都是锐角，且，，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、3、已知，且，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、4、设，且是第四象限角，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、5、函数的最小正周期是 （ ）A、 B、 C、 D、、若函数为以为最小正周期的奇函数，则函数可以是 （ ） A、 B、 C、 D、6、某物体受到恒力是，产生的位移为，则恒力物体所做的功是 （ ） A、 B、 C、 D、、已知向量，，，则向量与的夹角为 （ ） A、 B、 C、 D、7、要得到函数的图像，只需要将函数的图像 （ ） A、向右平移个单位 B、向右平移个单位C、向左平移个单位 D、向左平移个单位8、已知，则式子的值为（ ）A、 B、 C、 D、9、函数的图像的一条对称轴方程是 （ ） A、 B、 C、 D、10、已知，则的值为 （ ） A、 B、 C、 D、11、已知，，且，，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、12、已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上）13、已知，，则 14、函数的最小值是 15、函数图像的对称中心是（写出通式） 16、关于函数，下列命题：①、若存在，有时，成立；②、在区间上是单调递增；③、函数的图像关于点成中心对称图像；④、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分） 已知，，试求的值．18、（本小题满分12分）已知，，令函数，且的最小正周期为．求的值；求的单调区间．19、（本小题满分12分） 已知，试求式子的值．20、（本小题满分12分）已知，．若，求的单调的递减区间；若，求的值．21、（本小题满分12分）已知函数满足下列关系式：（i）对于任意的，恒有 ；（ii）．求证：（1）； （2）为奇函数； （3）是以为周期的周期函数． cos(60－30)cos60°cos30°sin60°sin30°cos(120－60)cos120°cos60°sin120°sin60°
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