人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例导学案

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正、余弦定理在实际生活中的应用第一课时正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.1.测量中正、余弦定理的应用例1　某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解，求角.再解，求出，再求出，从而求出（即为所求）.东北解：由图知，.，　　　　　　　　　.在中，.由余弦定理，得.即.整理，得，解得或（舍）.故（千米）.答：此人所在处距还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用例2　在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距为2海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求的方位角及由到所需的航行时间.解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有，.在中，∵，，，根据余弦定理可得.根据正弦定理可得.∴，易知方向与正北方向垂直，从而.在中，根据正弦定理可得：，∴，，∴，则有，小时分钟.所以缉私船沿北偏东方向，需分钟才能追上走私船.评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.3.航测中正、余弦定理的应用例3　飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到m）.分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在和中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.解：设飞行员的两次观测点依次为和，山顶为，山顶到直线的距离为.如图，在中，由已知，得，，.又（km）,根据正弦定理，可得，进而求得，∴（m）,可得山顶的海拔高度为（m）.评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.4.炮兵观测中正、余弦定理的应用例4　我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知米，，，目标出现于地面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、、、可构成四个三角形.要求的长，由于，只需知道和的长，这样可选择在和中应用定理求解.解：在中，，，，根据正弦定理有，同理，在中，，，，根据正弦定理有.又在中，，根据勾股定理有：.所以炮兵阵地到目标的距离为米.评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解. 5.下料中正余弦定理的应用例5　已知扇形铁板的半径为，圆心角为，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.（1）（2）解：在图（1）中,在上取一点，过作于，过作交于，再过作于.设，.在中，由正弦定理，得.∴.于是.当即时，取得最大值.在图（2）中，取中点，连结，在上取一点，过作交于，过作交于，过作交于，连结得矩形，设，则.在中，由正弦定理得：，∴.∴（当时取“”）.∴当时，取得最大值.∵，∴作，按图（1）划线所截得的矩形面积最大.评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.第二课时　　正、余弦定理提示了三角形的边角关系，它们是解决三角形的重要工具．在运用解三角形的有关知识解决实际问题时，要注意阅读理解，弄清题意，特别要搞清楚似于方位角、方向角等术语的含义，画出示意图则更有利于问题解决．本文通过几个典型问题介绍其应用． 在奥运会垒球比赛前，一教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒和游击手的直线成的方向把球击出，根据经验及测量仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问：按这样的布置，游击手能不能接着球？解析：假设游击手能接着球，接球点为，而游击手从点跑出，本垒为点（如图1所示），设从出球到接着球的时间为，球速为，则，，在中，由正弦定理得．．由于，即．显然这样的不存在．因此游击手不能接着球．点评：对于这种“探索性”问题，一般是假设“能”，然后再经过推理、计算，若得出结果正确，则得到问题的解答；若导出了矛盾，则说明假设不正确，答案就是否定的．　　例2　　一辆汽车从点出发，沿海岸一条直线公路以100km/h向东匀速行驶，汽车开动时，在点南偏东距点 且距海岸300km的海上处有一快递送给汽车的司机，求：快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所太的角．解析：如图2所示，设快艇在处以km/h的速度出发，沿方向 航行小时与汽车相遇（在点）．在中，km；km，，．则．在中，由正弦定理得，即，则，当且仅当时等号成立．故快艇最小速度为60km/h且行驶方向与成直角．点评：本题属常见的追击问题，但要注意解题方法．若用余弦定理化为的二次函数运用最值问题求解则比较复杂． 平面内有三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知Ｎ，Ｎ，的夹角为，求的大小及与的夹角．　　解析：由力学知识知，和的合力，即通过平行四边形法则可作出图形（如图3）所示，因此只要求出与的合力的大小和方向，就可求出的大小及方向，问题重点在于解．　　设与的合力为，则．　　，．　　在中，由余弦定理，得 ．（Ｎ）．又在中，由正弦定理，得，，．故力的大小为Ｎ，且与的夹角为．点评：本题是数理结合的一个典范，把物理问题转化为数学模型，通过物理图形建立数学关系式是解决问题的关键．