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高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试复习ppt课件
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第53讲 空间角及其计算5.如图，已知AB为平面α的一条斜线,B为斜足，AO⊥α，O为垂足,BC为α内的一条直线,∠ABC=60°,∠OBC=45°,则斜线AB和平面α所成的角为 .45° 解析：由斜线和平面所成的角的定义可知,∠ABO为斜线AB和平面α所成的角.又因为cos∠ABO= = = ,所以∠ABO=45°.例1如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 底面ABCD为平行四边形，其中AB= ，BD=BC=1， =2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点. (1)求异面直线AD1与BE所 成角的正切值； (2)当DF为何值时,EF与BC1 所成的角为90°?分析:依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应平面角.方法1（1）连接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，则∠EBC1为异面直线AD1与BE所成的角.又底面ABCD⊥侧面DCC1D1BD=BCE为CD的中点 BE⊥侧面DCC1D1 BE⊥EC1.在Rt△BEC1中，BE= = ，EC1= = ，所以tan∠EBC1= =3.BE⊥CD(2)当DF= 时,EF与BC1所成的角为90°.由（1）知，BE⊥侧面DCC1D1 BE⊥EF.又DE=EC= ，CC1=AA1=2.当DF= 时，因为 = = ， = = ，所以△DEF∽△CC1E，所以∠DEF+∠CEC1=90°，所以∠FEC1=90°，即FE⊥EC1.又EB∩BC1=E，所以EF⊥平面BEC1，所以EF⊥BC1,即EF与BC1所成的角等于90°.方法2：由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC，分别以BD、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), E( ， ,0).(1)因为 =(0,1,2)， =( ， ,0),所以cos〈 ， 〉= = = ，所以sin〈 ， 〉= ,所以tan〈 ， 〉=3，即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(1,0,q)，则 =( ，- ,q).又 =(0,1,2)，由 · = ×0- ×1+q·2=0，得q= ，即DF= 时，EF⊥BC1.所以sin〈 ， 〉= ,所以tan〈 ， 〉=3，即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(1,0,q)，则 =( ，- ,q).又 =(0,1,2)，由 · = ×0- ×1+q·2=0，得q= ，即DF= 时，EF⊥BC1.评析：异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用. D例2如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE。 (1)求证：BE⊥平面ADE，并求AB与平面ADE所成的角的大小； (2)求BD与平面CDE所成角的正弦值.解析：(1)在矩形ABCD中，连接BE，因为AB=2AD，E为CD的中点，所以AD=DE，∠EAB=45°，从而∠EBA=45°，故AE⊥EB.过D作DO⊥AE于O.因为平面ADE⊥平面 ABCE，所以DO⊥平面ABCE，所以DO⊥BE.又AE∩DO=O，所以BE⊥平面ADE.可知AE为AB在平面ADE上的射影，从而∠BAE为AB与平面ADE所成的角,大小为45°.(2)由(1)可知，DO⊥平面ABCE，BE⊥AE，过O作OF∥BE，以O为原点，OA、OF、OD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).设平面CDE的法向量n=(x,y,z).又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n· =2 x- y+ z=0 z=-x n· = x- y=0 y=x.取x=1，得n=(1,1,-1).又 =(- ,2 ,- )，cos〈n, 〉= = .则BD与平面CDE所成角的正弦值为 .则，得 评析： 本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所成的角. 评析： (1)求二面角的平面角的直接作法是利用三垂线定理，在一个平面内找一点，过此点作另一个平面的垂线．若题目中有两个互相垂直的面，其中一个为二面角的面时可用面面垂直的性质作垂线． (2)平面与平面所成角的向量公式：设平面a与平面b的法向量分别为m和n， 则二面角a-l-b与m、n的夹角q相等或互补． 1．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角． 2．用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握．其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便． 3．找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂 线，或找(作)垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形． 二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱(图中没有棱)的二面角，应先找出棱或借助平面法向量的夹角求解． 4．若利用向量来解，各类角都可以转化为向的夹角来运算． (1)求两异面直线a，b的夹角q，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosq=|cos〈a，b〉|. (2)求直线l与平面a所成的角q.可先求出平面a的法向量n与直线l的方向向量a的角，则sinq=|cos〈n，a〉|. (3)求二面角a-l-b的大小q，可先求出两个平的法向量 所成的角．
第53讲 空间角及其计算5.如图，已知AB为平面α的一条斜线,B为斜足，AO⊥α，O为垂足,BC为α内的一条直线,∠ABC=60°,∠OBC=45°,则斜线AB和平面α所成的角为 .45° 解析：由斜线和平面所成的角的定义可知,∠ABO为斜线AB和平面α所成的角.又因为cos∠ABO= = = ,所以∠ABO=45°.例1如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 底面ABCD为平行四边形，其中AB= ，BD=BC=1， =2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点. (1)求异面直线AD1与BE所 成角的正切值； (2)当DF为何值时,EF与BC1 所成的角为90°?分析:依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应平面角.方法1（1）连接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，则∠EBC1为异面直线AD1与BE所成的角.又底面ABCD⊥侧面DCC1D1BD=BCE为CD的中点 BE⊥侧面DCC1D1 BE⊥EC1.在Rt△BEC1中，BE= = ，EC1= = ，所以tan∠EBC1= =3.BE⊥CD(2)当DF= 时,EF与BC1所成的角为90°.由（1）知，BE⊥侧面DCC1D1 BE⊥EF.又DE=EC= ，CC1=AA1=2.当DF= 时，因为 = = ， = = ，所以△DEF∽△CC1E，所以∠DEF+∠CEC1=90°，所以∠FEC1=90°，即FE⊥EC1.又EB∩BC1=E，所以EF⊥平面BEC1，所以EF⊥BC1,即EF与BC1所成的角等于90°.方法2：由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC，分别以BD、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), E( ， ,0).(1)因为 =(0,1,2)， =( ， ,0),所以cos〈 ， 〉= = = ，所以sin〈 ， 〉= ,所以tan〈 ， 〉=3，即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(1,0,q)，则 =( ，- ,q).又 =(0,1,2)，由 · = ×0- ×1+q·2=0，得q= ，即DF= 时，EF⊥BC1.所以sin〈 ， 〉= ,所以tan〈 ， 〉=3，即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(1,0,q)，则 =( ，- ,q).又 =(0,1,2)，由 · = ×0- ×1+q·2=0，得q= ，即DF= 时，EF⊥BC1.评析：异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用. D例2如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE。 (1)求证：BE⊥平面ADE，并求AB与平面ADE所成的角的大小； (2)求BD与平面CDE所成角的正弦值.解析：(1)在矩形ABCD中，连接BE，因为AB=2AD，E为CD的中点，所以AD=DE，∠EAB=45°，从而∠EBA=45°，故AE⊥EB.过D作DO⊥AE于O.因为平面ADE⊥平面 ABCE，所以DO⊥平面ABCE，所以DO⊥BE.又AE∩DO=O，所以BE⊥平面ADE.可知AE为AB在平面ADE上的射影，从而∠BAE为AB与平面ADE所成的角,大小为45°.(2)由(1)可知，DO⊥平面ABCE，BE⊥AE，过O作OF∥BE，以O为原点，OA、OF、OD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).设平面CDE的法向量n=(x,y,z).又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n· =2 x- y+ z=0 z=-x n· = x- y=0 y=x.取x=1，得n=(1,1,-1).又 =(- ,2 ,- )，cos〈n, 〉= = .则BD与平面CDE所成角的正弦值为 .则，得 评析： 本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所成的角. 评析： (1)求二面角的平面角的直接作法是利用三垂线定理，在一个平面内找一点，过此点作另一个平面的垂线．若题目中有两个互相垂直的面，其中一个为二面角的面时可用面面垂直的性质作垂线． (2)平面与平面所成角的向量公式：设平面a与平面b的法向量分别为m和n， 则二面角a-l-b与m、n的夹角q相等或互补． 1．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角． 2．用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握．其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便． 3．找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂 线，或找(作)垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形． 二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱(图中没有棱)的二面角，应先找出棱或借助平面法向量的夹角求解． 4．若利用向量来解，各类角都可以转化为向的夹角来运算． (1)求两异面直线a，b的夹角q，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosq=|cos〈a，b〉|. (2)求直线l与平面a所成的角q.可先求出平面a的法向量n与直线l的方向向量a的角，则sinq=|cos〈n，a〉|. (3)求二面角a-l-b的大小q，可先求出两个平的法向量 所成的角．
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