高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习ppt课件

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§4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切要点梳理1.cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β(Cα-β) cos(α+β)= (Cα+β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(Sα-β) sin(α+β)= (Sα+β)cos αcos β-sin αsin βsin αcos β+cos αsin β基础知识 自主学习前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是 (Tα+β需满足), (Tα-β需满足) k∈Z时成立，否则是不成立的.当tan α、tan β或tan（α±β）的值不存在时，不能使用公式Tα±β,处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解.2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进 行适当的变换：α=(α+β)-β,α=(α-β) +β，2α=（α+β）+（α-β）， 2α=（α+β）-（β-α）等等.3.二倍角公式 sin 2α= ; cos 2α= = = ; tan 2α= .2sin αcos αcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α4.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用 公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用 等.如Tα±β可变形为： tan α±tan β= , tan αtan β=5.函数f（α）=acos α+bsin α(a,b为常数)，可以 化为f（α）= 或f（α）= ，其中φ可由a，b的值唯一 确定.tan(α±β)(1tan αtan β)=.基础自测1.cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值为 （ ） A. B. C. D. 解析 原式=cos 43°cos(90°-13°) +sin 43°cos(180°-13°) =cos 43°sin 13°-sin 43°cos 13° =sin(13°-43°)=-sin 30°=B2. ( ) 解析 由已知可得C3.（2009·陕西理，5）若3sin α+cos α=0, 则 的值为（ ） A. B. C. D.-2 解析 3sin α+cos α=0,则A4.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan 2α 等于（ ） A. B. C. D. 解析 tan 2α=tan［(α+β)+(α-β)］D5.（2009·上海理，6）函数y=2cos2x+sin 2x的最 小值是 . 解析 ∵y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x ∴y最小值=1- .题型一 三角函数式的化简、求值 (1)从把角θ变为 入手,合理使用 公式. (2)应用公式把非10°角转化为10°的角,切 化弦.题型分类 深度剖析解 （1）原式 （1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.（2）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值.知能迁移1 解题型二 三角函数的给值求值 角的变换：所求角分拆成已知角的 和、差、倍角等，综合上述公式及平方关系. 解 角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β)等；函数变换：弦切互化，化异名为同名.综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响.当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化.知能迁移2 已知( )解析答案 A题型三 三角函数的给值求角 已知tan(α-β)= ,tan β= , 且α,β∈(0,π),求2α-β的值. 对角2α-β拆分为α+(α-β);α拆 分为(α-β)+β,先求tan α,再求tan(2α-β). 解∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).∵tan(2α-β)=tan［α+(α-β)］ (1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为 ，选正弦较好.（2）解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角. 知能迁移3 已知 (1)求sin α的值； (2)求β的值. 解题型四 三角函数的综合应用 （12分）已知α、β为锐角，向量a= (cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c (1)若a·b= ,a·c= ,求角2β-α的值; (2)若a=b+c，求tan α的值. （1）由 及a,b, c的坐标，可求出关于α、β的三角函数值，进 而求出角. （2）由a=b+c可求出关于α、β的三角恒等式， 利用方程的思想解决问题.解 （1）a·b=（cos α，sin α）·（cos β，sin β）=cos αcos β+sin αsin β①②2分4分6分8分10分 （1）已知三角函数值求角，一定要注意角的范围.（2）求有关角的三角函数问题，有时构造等式，用方程的思想解决更简单、实用.12分知能迁移4（2009·广东理，16）已知向量a= (sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中 (1)求sin θ 和cos θ的值;解方法与技巧1.巧用公式变形： 和差角公式变形：tan x±tan y=tan(x±y)· (1tan x·tan y); 倍角公式变形:降幂公式 配方变形：思想方法 感悟提高2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期. y=asin α+bcos α= (α+φ)(其 中tan φ= )有:3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变 角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能 减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、 化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、 所求（或所证明）问题的整体形式中的差异， 再选择适当的三角公式恒等变形.4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值 的技巧：把已知条件的和角进行加减或2倍角后 再加减，观察是不是常数角，只要是常数角， 就可以从此入手，给这个等式两边求某一函 数值，可使所求的复杂问题简化！5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重 视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构, 更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会 公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公 式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形.失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注 意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次 的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0,π)范围内，sin(α+β)= 所对应的 角α+β不是唯一的.3.在三角求值时，往往要估计角的范围后求值.一、选择题1.sin 45°·cos 15°+cos 225°·sin 15°的值 为 （ ） A. B. C. D. 解析 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45° ·sin 15°C定时检测2.（ ）解析B3. （ ）解析A4.已知向量( )解析B5. （ ）解析A6.在△ABC中,角C=120°,tan A+tan B= ，则 tan Atan B的值为 ( ) A. B. C. D. 解析 tan(A+B)=-tan C=-tan 120°= ,B二、填空题7. . 解析 8. . 解析29. 已知 .解析三、解答题10.化简： 解11.已知函数 (1)求f(x)的周期和单调递增区间； (2)若关于x的方程f(x)-m=2在 上有解, 求实数m的取值范围. 解12.已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α, 5sin α-4cos α), (1)求tan α的值； 解 （1）∵a⊥b，∴a·b=0. 而a=(3sin α,cos α), b=(2sin α,5sin α-4cos α), 故a·b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0. 由于cos α≠0,∴6tan2α+5tan α-4=0.且a⊥b. 返回