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高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例图文课件ppt
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1.2应用举例 1.2.1 测量距离或高度问题 1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关测量不能到达的一点或两点的距离的实际问题． 2．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量问题． 3．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯．1．方位角．正北方向顺时针水平角 从_________________旋转到目标方向线所成的________，如图 1－2－1 所示的θ1，θ2.图 1－2－1图 1－2－2练习1：如图 1－2－2，点 A 的方位角为________，点 B的方位角为__________．30°270°2．仰角和俯角．夹角仰角俯角∠1∠2 仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与 目 标 视线 的 ______ ， 目标 视线 在水 平视 线 上 方 时 叫做________，目标视线在水平视线下方时叫做______．如图 1－2－3，仰角为______，俯角为______． 图 1－2－3 练习2：山上点B 望山下点 A 俯角为 30°，则山下点 A 望山上点 B 仰角为________．30°1．测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时，利用正弦定理求解需要哪些条件？ 答案：选取地面两点与物体底部在同一直线上，测量选取的两点的距离，再分别测量该两点与物体顶点的夹角．题型1测量宽度 例1：如图 1－2－4 某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且 AB＝100 米． (1)求 sin75°； (2)求该河段的宽度． 图 1－2－4 过点 B 作 BD 垂直于 CD，垂足为点 D，则 BD 的长就是该河段的宽度．【变式与拓展】 1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如图 1－2－5)，要测算 A，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA)A＝45°，就可以计算出 A，B 两点的距离为(图 1－2－5 2．如图 1－2－6，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，对岸标记物 C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB60 m＝ 120 m，则河的宽度为_________． 图 1－2－6题型2求不可到达两点之间的距离问题 例2：如图 1－2－7，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点 C，D，测得 CD＝1 000 米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求 AB 的长． 图 1－2－7 测量不能达到的两点间的距离，利用解斜三角形是一个重要的方法．解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算．【变式与拓展】 3．某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C和点 D 处，已知 CD＝6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点 B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图 1－2－8，则炮兵阵地到目的的距离为__________． 图 1－2－8 4．如图 1－2－9，现要计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离．由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离．(假设A，B，C，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据： ≈1.414)图 1－2－9题型3测量高度问题 例3：河对岸有一个建筑物，建筑物的底部不可到达，请你利用量角器和米尺设计出一套方案测出建筑物的高度．图D2 解决这类设计测量方案问题时，应先进行发散思维——联想数学模型，寻求解决问题的各种方案，然后进行收敛思维——比较各种方案的优劣，考虑计算量的大小，是否具备可操作性以及实施测量的工作量的大小等等．【变式与拓展】 5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测仰角为原来的 2 倍，继续在平行地面上前进200是( m 后，测得山峰的仰角为原来的 4 倍，则该山峰的高度 )BA．200 mC．400 mB．300 mD．100 m 6．如图 1－2－10，为了测量某塔的高度，某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 60°，前进 38.5 m 后，达到 B 处测得塔尖的图 1－2－10仰角为 75°.试计算该塔的高度(精确到 1 m)． 例4：在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°，60°，求该塔的高度．易错点评：题意理解不清，不能正确画出图形． 1．解决实际测量问题一般要充分认真理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解． 2．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法来计算．3．解斜三角形应用题的一般步骤． (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
1.2应用举例 1.2.1 测量距离或高度问题 1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关测量不能到达的一点或两点的距离的实际问题． 2．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量问题． 3．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯．1．方位角．正北方向顺时针水平角 从_________________旋转到目标方向线所成的________，如图 1－2－1 所示的θ1，θ2.图 1－2－1图 1－2－2练习1：如图 1－2－2，点 A 的方位角为________，点 B的方位角为__________．30°270°2．仰角和俯角．夹角仰角俯角∠1∠2 仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与 目 标 视线 的 ______ ， 目标 视线 在水 平视 线 上 方 时 叫做________，目标视线在水平视线下方时叫做______．如图 1－2－3，仰角为______，俯角为______． 图 1－2－3 练习2：山上点B 望山下点 A 俯角为 30°，则山下点 A 望山上点 B 仰角为________．30°1．测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时，利用正弦定理求解需要哪些条件？ 答案：选取地面两点与物体底部在同一直线上，测量选取的两点的距离，再分别测量该两点与物体顶点的夹角．题型1测量宽度 例1：如图 1－2－4 某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且 AB＝100 米． (1)求 sin75°； (2)求该河段的宽度． 图 1－2－4 过点 B 作 BD 垂直于 CD，垂足为点 D，则 BD 的长就是该河段的宽度．【变式与拓展】 1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如图 1－2－5)，要测算 A，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA)A＝45°，就可以计算出 A，B 两点的距离为(图 1－2－5 2．如图 1－2－6，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，对岸标记物 C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB60 m＝ 120 m，则河的宽度为_________． 图 1－2－6题型2求不可到达两点之间的距离问题 例2：如图 1－2－7，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点 C，D，测得 CD＝1 000 米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求 AB 的长． 图 1－2－7 测量不能达到的两点间的距离，利用解斜三角形是一个重要的方法．解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算．【变式与拓展】 3．某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C和点 D 处，已知 CD＝6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点 B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图 1－2－8，则炮兵阵地到目的的距离为__________． 图 1－2－8 4．如图 1－2－9，现要计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离．由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离．(假设A，B，C，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据： ≈1.414)图 1－2－9题型3测量高度问题 例3：河对岸有一个建筑物，建筑物的底部不可到达，请你利用量角器和米尺设计出一套方案测出建筑物的高度．图D2 解决这类设计测量方案问题时，应先进行发散思维——联想数学模型，寻求解决问题的各种方案，然后进行收敛思维——比较各种方案的优劣，考虑计算量的大小，是否具备可操作性以及实施测量的工作量的大小等等．【变式与拓展】 5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测仰角为原来的 2 倍，继续在平行地面上前进200是( m 后，测得山峰的仰角为原来的 4 倍，则该山峰的高度 )BA．200 mC．400 mB．300 mD．100 m 6．如图 1－2－10，为了测量某塔的高度，某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 60°，前进 38.5 m 后，达到 B 处测得塔尖的图 1－2－10仰角为 75°.试计算该塔的高度(精确到 1 m)． 例4：在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°，60°，求该塔的高度．易错点评：题意理解不清，不能正确画出图形． 1．解决实际测量问题一般要充分认真理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解． 2．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法来计算．3．解斜三角形应用题的一般步骤． (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
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