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北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系教学设计及反思
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这是一份北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系教学设计及反思
圆周角和圆心角的关系教学目标：1.掌握圆周角定理的三个推论．（重点）2.能熟练应用圆周角推论解决问题．（重点）3.理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”．教法及学法指导：本课时的学习内容，是在已学圆周角定理的基础上进行推理，论证较为简单，学生易于接受，因此侧重于推论的总结表达与应用，帮助学生从直观感受到理性表述地提升，并能严谨地表达自己的见解.难点是灵活运用定理及推论进行灵活转化；关键是真正让学生交流讨论起来，发挥集体智慧，通过相互间的合作与交流，发展学生合作交流的能力和数学表达能力；教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.课前准备：圆规、三角板、相关图片学生提前预习教学过程：一、复习巩固，引入课题师：同学们请回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角？它们之间有什么关系？生：学习了圆心角和圆周角，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．师：下面两个小练习,看谁算得又准又快： 1、已知：如图， ∠BOC是_______角，∠BAC是_______角；若∠BOC=80°则∠BAC=_______ 2、已知：如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BCO=65°则∠BAC=_______生：40°、25°师：要求圆周角，由关系定理转化为圆心角来确定，这是在圆中常用的转化思想，请大家想着它并加以应用．师：圆周角定理应用的不错，今天我们继续学习圆周角和圆心角的关系．（设计意图：回忆旧知，为本节课学习新的知识做铺垫，通过简单的应用，让学生感受知识之间的互相联系，为后面学习推论的论证作好准备．）二、出示目标，确定学习内容师：今天需要学习掌握的内容是：1.掌握圆周角定理的三个推论．（重点）2.能熟练应用圆周角推论解决问题．（重点）（设计意图：明确目标，使学生明确这节课的学习任务，利于学生集中精力学习重点内容．）三、讨论交流，掌握新知师：同学们请看下面这个图形：在⊙O中，以A、C为端点的弧所对的圆周角，我画出了三个，∠ABC、∠ADC、∠AEC，这样的圆周角有多少个？它们的大小有什么关系？你是如何得到的？生1：以A、C为端点的弧所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，测量一下就可以得到的．师:测量是最直观的验证方法，但有误差，我们能否用推理验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC？生2:连接AO，CO可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧所对的圆周角，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．师:用一句话概括出此结论．生: 同弧所对的圆周角相等．师:回到课本P108开头图3-13遗留下来的问题，看看它的结论，你找到依据了吗？生:找到了，它们属于同弧所对的圆周角，实景抽象出来就是我们所画的这个图．师：为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．生3：减少盲区．生4：那是要求后排比前排高的设计．师：结合我们刚得到的结论．生：电影院的横排坐位排列呈圆弧形，是想尽量保证同排的观众视角相等．师: 对，保证同排的观众相对于舞台的张角相等；如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？生：一样，等弧所对的圆心角相等，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．师：补充完善我们刚才的结论．生：同弧或等弧所对的圆周角相等．生5：好像要强调在同圆或等圆中吧．师：这个问题提的不错，谁能回答？生6：不需要，“同弧”只能在“同一个圆”中；“等弧”暗含“在同圆或等圆中”．师：真棒！一定要注意特殊词语里的暗含条件；这是我们所学的第一个推论．谁能改写成“如果---那么---”的形式？生7：如果同弧或等弧所对的圆周角，那么相等．师：分清了题设与结论，但太过简单了．生8:如果两个角是同弧或等弧所对的圆周角，那么这两个角相等．师：真不错；若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们先画一画，再议一议．生9：“等弦”不一定成立，它没有暗含等圆的条件，可能出现一大一小两个圆．图中∠C与∠D不相等．(师出示图片一) (图一） （图片二)师：同弦呢?生：结论不一定成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一种是在弦的同一侧，也是同弧所对的圆周角，此时相等；一种是圆周角分布在弦的两侧，就不再相等．（师出示图片二）师：两种状况，再次体现分类思想，你们能猜出∠C与∠D什么关系吗？ 提示一下，可以找一下和它们有关系的圆心角．生：（思考，讨论）∠C +∠D =180°师：这是补充的第二个推论，同学们需要了解清楚．在同圆中，同弦所对的圆周角要么相等要么互补．因此推论一中的“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．接下来我们看下面的问题：如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？你是如何判断的？(同学们互相交流、讨论)生10:直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角 是∠BOC＝180°，所以∠BAC＝∠90°．师:反过来，在下图中，如果圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？为什 么？生11:弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC＝90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC＝180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．师:通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的第三个推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．（设计意图：教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.）四、例题展示，学会应用师：为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．[例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？[师生共析]：有直径，就可以构造直角，得到垂直；此处AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD＝CD．下面哪位同学能叙述一下理由？生：口述过程BD＝CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．又∵AC＝AB，∴BD＝CD．师：通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明．生：在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法．比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决．再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习到的圆心角类比得出圆周角的概念……（设计意图：通过例题的应用，直观地展示定理的应用过程，感受转化思想的具体应用方法；方法归类总结，利于学生灵活应用．）五、自我测评，巩固新知1．如下图，哪个角与∠BAC相等？生答：∠BDC＝∠BAC．2．如下图，⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．生解：∵AB为⊙O的直径．∴∠ACB＝90°．又∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝×10＝5(cm)．3．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？生答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．（设计意图：通过针对性的简单应用，加深理解本课新知，而不是仅仅停留在了解记忆的层面．）六、分组讨论，合作探究师：下面我们一起来看一个问题：做一做船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？生：就近四人一组，交流讨论，互相提示，感受不同的思维方法、角度．[师生共析]：这是一个有实际背景的问题．数学化以后就是：船在危险区域点在圆内 ∠α＞∠C 船在临界区域 点在圆上 ∠α=∠C 船在安全区域 点在圆外 ∠α＜∠C 这也是“点与圆的位置关系”的另一种判定方法；我们可采用反证法进行论证．解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)．理由是：连结BE，假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O内．注意：1.“不在圆内”包含“在圆上或圆外”，要分类说明，体现分类思想．2.用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．师：模仿(1)的过程，口述(2)的推理过程．生：先相互口述，再由一名学生代表口述．（设计意图：以这道题目来探究，使学生感受“学习数学服务生活”的目的；对于实际问地抽象，学生需要集思广益，充分讨论，充分质疑，然后通过师生的辩论、展示形成规范、合理的思路，最后进行严谨的表述．）七、自我小结，归纳提高师：小结一下本节所学内容学生在自己座位上七嘴八舌的总结本课的学习重点及学习过程.八、作业：1.课本P116课后习题.2.助学P244知识梳理、巩固训练1、2、3.3.预习下一课时.板书设计：教后反思:本节课引导学生自主学习，通过讨论交流进行新知的总结归纳，教师在学生探究学习过程中尽力成为一个引导者、合作者、组织者，适当放开学生的手、口、脑，使学生充分表现总结的潜力与智慧，表现真实的思维和真实的自我，让数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程．成功体验：本节课能充分利用现实生活和数学教材中的素材，激发学生学习的积极性，在得出结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量和证明、分类和转化、类比等.存在问题：本节课容量较大，教学时要注意好节奏. 圆周角和圆心角的关系（二）推论1：（略）推论2: （略）推论3：（略）例一：（略）做一做：证明：（略）
圆周角和圆心角的关系教学目标：1.掌握圆周角定理的三个推论．（重点）2.能熟练应用圆周角推论解决问题．（重点）3.理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”．教法及学法指导：本课时的学习内容，是在已学圆周角定理的基础上进行推理，论证较为简单，学生易于接受，因此侧重于推论的总结表达与应用，帮助学生从直观感受到理性表述地提升，并能严谨地表达自己的见解.难点是灵活运用定理及推论进行灵活转化；关键是真正让学生交流讨论起来，发挥集体智慧，通过相互间的合作与交流，发展学生合作交流的能力和数学表达能力；教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.课前准备：圆规、三角板、相关图片学生提前预习教学过程：一、复习巩固，引入课题师：同学们请回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角？它们之间有什么关系？生：学习了圆心角和圆周角，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．师：下面两个小练习,看谁算得又准又快： 1、已知：如图， ∠BOC是_______角，∠BAC是_______角；若∠BOC=80°则∠BAC=_______ 2、已知：如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BCO=65°则∠BAC=_______生：40°、25°师：要求圆周角，由关系定理转化为圆心角来确定，这是在圆中常用的转化思想，请大家想着它并加以应用．师：圆周角定理应用的不错，今天我们继续学习圆周角和圆心角的关系．（设计意图：回忆旧知，为本节课学习新的知识做铺垫，通过简单的应用，让学生感受知识之间的互相联系，为后面学习推论的论证作好准备．）二、出示目标，确定学习内容师：今天需要学习掌握的内容是：1.掌握圆周角定理的三个推论．（重点）2.能熟练应用圆周角推论解决问题．（重点）（设计意图：明确目标，使学生明确这节课的学习任务，利于学生集中精力学习重点内容．）三、讨论交流，掌握新知师：同学们请看下面这个图形：在⊙O中，以A、C为端点的弧所对的圆周角，我画出了三个，∠ABC、∠ADC、∠AEC，这样的圆周角有多少个？它们的大小有什么关系？你是如何得到的？生1：以A、C为端点的弧所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，测量一下就可以得到的．师:测量是最直观的验证方法，但有误差，我们能否用推理验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC？生2:连接AO，CO可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧所对的圆周角，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．师:用一句话概括出此结论．生: 同弧所对的圆周角相等．师:回到课本P108开头图3-13遗留下来的问题，看看它的结论，你找到依据了吗？生:找到了，它们属于同弧所对的圆周角，实景抽象出来就是我们所画的这个图．师：为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．生3：减少盲区．生4：那是要求后排比前排高的设计．师：结合我们刚得到的结论．生：电影院的横排坐位排列呈圆弧形，是想尽量保证同排的观众视角相等．师: 对，保证同排的观众相对于舞台的张角相等；如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？生：一样，等弧所对的圆心角相等，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．师：补充完善我们刚才的结论．生：同弧或等弧所对的圆周角相等．生5：好像要强调在同圆或等圆中吧．师：这个问题提的不错，谁能回答？生6：不需要，“同弧”只能在“同一个圆”中；“等弧”暗含“在同圆或等圆中”．师：真棒！一定要注意特殊词语里的暗含条件；这是我们所学的第一个推论．谁能改写成“如果---那么---”的形式？生7：如果同弧或等弧所对的圆周角，那么相等．师：分清了题设与结论，但太过简单了．生8:如果两个角是同弧或等弧所对的圆周角，那么这两个角相等．师：真不错；若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们先画一画，再议一议．生9：“等弦”不一定成立，它没有暗含等圆的条件，可能出现一大一小两个圆．图中∠C与∠D不相等．(师出示图片一) (图一） （图片二)师：同弦呢?生：结论不一定成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一种是在弦的同一侧，也是同弧所对的圆周角，此时相等；一种是圆周角分布在弦的两侧，就不再相等．（师出示图片二）师：两种状况，再次体现分类思想，你们能猜出∠C与∠D什么关系吗？ 提示一下，可以找一下和它们有关系的圆心角．生：（思考，讨论）∠C +∠D =180°师：这是补充的第二个推论，同学们需要了解清楚．在同圆中，同弦所对的圆周角要么相等要么互补．因此推论一中的“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．接下来我们看下面的问题：如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？你是如何判断的？(同学们互相交流、讨论)生10:直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角 是∠BOC＝180°，所以∠BAC＝∠90°．师:反过来，在下图中，如果圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？为什 么？生11:弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC＝90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC＝180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．师:通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的第三个推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．（设计意图：教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.）四、例题展示，学会应用师：为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．[例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？[师生共析]：有直径，就可以构造直角，得到垂直；此处AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD＝CD．下面哪位同学能叙述一下理由？生：口述过程BD＝CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．又∵AC＝AB，∴BD＝CD．师：通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明．生：在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法．比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决．再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习到的圆心角类比得出圆周角的概念……（设计意图：通过例题的应用，直观地展示定理的应用过程，感受转化思想的具体应用方法；方法归类总结，利于学生灵活应用．）五、自我测评，巩固新知1．如下图，哪个角与∠BAC相等？生答：∠BDC＝∠BAC．2．如下图，⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．生解：∵AB为⊙O的直径．∴∠ACB＝90°．又∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝×10＝5(cm)．3．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？生答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．（设计意图：通过针对性的简单应用，加深理解本课新知，而不是仅仅停留在了解记忆的层面．）六、分组讨论，合作探究师：下面我们一起来看一个问题：做一做船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？生：就近四人一组，交流讨论，互相提示，感受不同的思维方法、角度．[师生共析]：这是一个有实际背景的问题．数学化以后就是：船在危险区域点在圆内 ∠α＞∠C 船在临界区域 点在圆上 ∠α=∠C 船在安全区域 点在圆外 ∠α＜∠C 这也是“点与圆的位置关系”的另一种判定方法；我们可采用反证法进行论证．解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)．理由是：连结BE，假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O内．注意：1.“不在圆内”包含“在圆上或圆外”，要分类说明，体现分类思想．2.用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．师：模仿(1)的过程，口述(2)的推理过程．生：先相互口述，再由一名学生代表口述．（设计意图：以这道题目来探究，使学生感受“学习数学服务生活”的目的；对于实际问地抽象，学生需要集思广益，充分讨论，充分质疑，然后通过师生的辩论、展示形成规范、合理的思路，最后进行严谨的表述．）七、自我小结，归纳提高师：小结一下本节所学内容学生在自己座位上七嘴八舌的总结本课的学习重点及学习过程.八、作业：1.课本P116课后习题.2.助学P244知识梳理、巩固训练1、2、3.3.预习下一课时.板书设计：教后反思:本节课引导学生自主学习，通过讨论交流进行新知的总结归纳，教师在学生探究学习过程中尽力成为一个引导者、合作者、组织者，适当放开学生的手、口、脑，使学生充分表现总结的潜力与智慧，表现真实的思维和真实的自我，让数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程．成功体验：本节课能充分利用现实生活和数学教材中的素材，激发学生学习的积极性，在得出结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量和证明、分类和转化、类比等.存在问题：本节课容量较大，教学时要注意好节奏. 圆周角和圆心角的关系（二）推论1：（略）推论2: （略）推论3：（略）例一：（略）做一做：证明：（略）
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