数学必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时训练

这是一份数学必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时训练，共5页。试卷主要包含了化简＝等内容，欢迎下载使用。

1．化简(cs47°30′－sin47°30′)(sin 23°cs 8°－sin 67°sin 8°)＝( )．
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C．1 D．－1
解析 原式＝(cs27°30′＋sin27°30′)(cs27°30′－sin27°30′)(sin 23°cs 8°－cs 23°sin 8°)＝cs 15°sin 15°＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4)，故选A.
答案 A
2．若cs 2α＝eq \f(\r(2),3)，则sin4α＋cs4α＝( )．
A．1 B.eq \f(7,9) C.eq \f(11,18) D.eq \f(13,18)
解析 sin4α＋cs4α＝(sin2α＋cs2α)2－2sin2αcs2α＝1－eq \f(1,2)sin22α＝1－eq \f(1,2)(1－cs22α)＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,9)))＝eq \f(11,18)，故选C.
答案 C
3．(2012·珠海高一检测)如果|cs θ|＝eq \f(1,5)，eq \f(5,2)π<θ<3π，则sin eq \f(θ,2)＝( )．
A．－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5) C．－eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(15),5)
解析 ∵eq \f(5,2)π<θ<3π，∴θ是第二象限角．
∵|cs θ|＝eq \f(1,5)，∴cs θ＝－eq \f(1,5).
∵eq \f(5,4)π由cs θ＝1－2sin2eq \f(θ,2)，得－eq \f(1,5)＝1－2sin2eq \f(θ,2)，
∴sin eq \f(θ,2)＝－eq \f(\r(15),5)，故选C.
答案 C
4．已知tan θ＝eq \f(1,2)，则sin 2θ＋sin2θ＝________.
解析 原式＝eq \f(2sin θcs θ＋sin2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(2tan θ＋tan2θ,tan2θ＋1).
又∵tan θ＝eq \f(1,2)，∴原式＝eq \f(2×\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＝1.
答案 1
5．已知函数f(x)＝(sin x－cs x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期为________．
解析 f(x)＝sin2x－sin xcs x
＝eq \f(1－cs 2x,2)－eq \f(1,2)sin 2x＝－eq \f(\r(2),2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(1,2).
故函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
答案 π
6．已知cs θ＝－eq \f(\r(2),3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求eq \f(2,sin 2θ)－eq \f(cs θ,sin θ)的值．
解 ∵cs θ＝－eq \f(\r(2),3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(7),3).
法一 ∴eq \f(2,sin 2θ)－eq \f(cs θ,sin θ)
＝eq \f(2,2sin θcs θ)－eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(2,2×\f(\r(7),3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),3))))－eq \f(－\f(\r(2),3),\f(\r(7),3))
＝－eq \f(9,\r(14))＋eq \f(2,\r(14))＝－eq \f(7,\r(14))＝－eq \f(\r(14),2).
法二 ∴eq \f(2,sin 2θ)－eq \f(cs θ,sin θ)
＝eq \f(2,2sin θcs θ)－eq \f(2cs2θ,2sin θcs θ)＝eq \f(21－cs2θ,2sin θcs θ)
＝eq \f(2×sin2θ,2sin θcs θ)＝tan θ＝－eq \f(\r(14),2).
综合提高 限时25分钟
7．(2011·辽宁高考)设sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝eq \f(1,3)，则sin 2θ＝( )．
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(1,9) C.eq \f(1,9) D.eq \f(7,9)
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝eq \f(\r(2),2)(sin θ＋cs θ)＝eq \f(1,3)，将上式两边平方，得eq \f(1,2)(1＋sin 2θ)＝eq \f(1,9)，∴sin 2θ＝－eq \f(7,9).
答案 A
8．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于( )．
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),8) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,4)
解析 原式＝eq \f(1,2)sin 15°cs 15°
＝eq \f(1,4)×2sin 15°cs 15°＝eq \f(1,4)sin 30°＝eq \f(1,8).
答案 C
9．已知tan α＝2，则eq \f(sin 2α－cs 2α,1＋cs2α)＝________.
解析 原式＝eq \f(2sin αcs α－cs2α＋sin2α,sin2α＋cs2α＋cs2α)
＝eq \f(2sin αcs α－cs2α＋sin2α,sin2α＋2cs2α)
＝eq \f(2tan α＋tan2α－1,tan2α＋2)＝eq \f(2×2＋4－1,4＋2)＝eq \f(7,6).
答案 eq \f(7,6)
10．(2012·赣州高一检测)已知sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(1,2)，则cs 2θ＝________.
解析 由sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(1,2)，
两边平方整理，得1＋sin θ＝eq \f(1,4)，即sin θ＝－eq \f(3,4)，
cs 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＝－eq \f(1,8).
答案 －eq \f(1,8)
11．(2012·东营高一检测)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))).
(1)求eq \f(sin 2α＋cs 2α＋1,1＋tan α)的值；
(2)若eq \(OP,\s\up12(→))·eq \(OQ,\s\up12(→))＝0，求sin(α＋β)．
解 (1)由三角函数定义得cs α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,5)，
∴原式＝eq \f(2sin αcs α＋2cs2α,1＋\f(sin α,cs α))＝eq \f(2cs αsin α＋cs α,\f(sin α＋cs α,cs α))＝2cs2α＝2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2＝eq \f(18,25).
(2)∵eq \(OP,\s\up12(→))·eq \(OQ,\s\up12(→))＝0，
∴α－β＝eq \f(π,2)，∴β＝α－eq \f(π,2)，
∴sin β＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－cs α＝eq \f(3,5)，
cs β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝sin α＝eq \f(4,5).
∴sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
＝eq \f(4,5)×eq \f(4,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(3,5)＝eq \f(7,25).
12．(创新拓展)已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a为大于1的常数)的两根为tan α、tan β，且α、β均在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，求taneq \f(α＋β,2)的值．
解 ∵tan α、tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝－4a<0，tan α·tan β＝3a＋1>0，可见tan α<0，tan β<0.
又∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴α，β∈(－eq \f(π,2)，0)．
得到－π<α＋β<0，即－eq \f(π,2)∴tan eq \f(α＋β,2)<0.
∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)
＝eq \f(－4a,1－3a＋1)＝eq \f(4,3).
∴eq \f(2tan \f(α＋β,2),1－tan2 \f(α＋β,2))＝eq \f(4,3)，
∴tan eq \f(α＋β,2)＝eq \f(1,2)(舍去)或tan eq \f(α＋β,2)＝－2.
故所求tan eq \f(α＋β,2)的值为－2.