2021学年第二章 平面向量综合与测试课后练习题

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1. 若|eq \(a,\s\up6(→))|=2, |eq \(b,\s\up6(→))|= EQ \f(1,2), eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为60°,则eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))等于 ( A )
A. EQ \f(1,2) B. eq \f(1,4) C. 1 D. 2
2. 设|eq \(a,\s\up6(→))|=12,|eq \(b,\s\up6(→))|=9,eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))= eq —54 eq \r(2) , 则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为 ( C )
A. 30° B. 60° C. 135° D. 120°
3. 若向量eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为60°, |eq \(b,\s\up6(→))|=4. (eq \(a,\s\up6(→))+2eq \(b,\s\up6(→)))·(eq \(a,\s\up6(→)) eq —3eq \(b,\s\up6(→)))= eq —72, 则向量eq \(a,\s\up6(→))的模为 ( C )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
4. 设eq \(e1,\s\up6(→))，eq \(e2,\s\up6(→))是两个单位向量，它们的夹角是60°,则(2eq \(e1,\s\up6(→)) eq —eq \(e2,\s\up6(→)))·( eq —3eq \(e1,\s\up6(→))+2eq \(e2,\s\up6(→)))等于 ( C )
A. eq —8 B. eq \f(9,2) C. eq — eq \f(9,2) D. 8
5. 已知向量eq \(a,\s\up6(→))=( eq \r(3),1), eq \(b,\s\up6(→))是不平行于x轴的单位向量，且eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))= eq \r(3), 则eq \(b,\s\up6(→))= ( B )
A. ( eq \f(\r(3),2), EQ \f(1,2)) B. ( EQ \f(1,2), eq \f(\r(3),2)) C. ( eq \f(1,4), eq \f(3\r(3),4)) D. (1,0)
6. 设非零向量eq \(a,\s\up6(→)),eq \(b,\s\up6(→)),eq \(c,\s\up6(→))满足：|eq \(a,\s\up6(→))|=|eq \(b,\s\up6(→))|=|eq \(c,\s\up6(→))|, eq \(a,\s\up6(→))+eq \(b,\s\up6(→))=eq \(c,\s\up6(→)), 则 = ( B )
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
7. 已知向量eq \(a,\s\up6(→))=(1,2), eq \(b,\s\up6(→))=(2, eq —3), 若向量eq \(c,\s\up6(→))满足(eq \(c,\s\up6(→))+eq \(a,\s\up6(→)))//eq \(b,\s\up6(→)), eq \(c,\s\up6(→))⊥(eq \(a,\s\up6(→))+eq \(b,\s\up6(→)))，则eq \(c,\s\up6(→))= ( D )
A. ( eq \f(7,9), eq \f(7,3)) B. ( eq — eq \f(7,3), eq — eq \f(7,9)) C. ( eq \f(7,3), eq \f(7,9)) D. ( eq — eq \f(7,9), eq — eq \f(7,3))
8. 已知向量eq \(a,\s\up6(→))=(1,2),eq \(b,\s\up6(→))=( eq —2, eq —4),|eq \(c,\s\up6(→))|= eq \r(5) ,若(eq \(a,\s\up6(→))+eq \(b,\s\up6(→)))·eq \(c,\s\up6(→)) = eq \f(5,2), 则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(c,\s\up6(→))的夹角为 ( C )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
9. 非零向量eq \(a,\s\up6(→)),eq \(b,\s\up6(→))满足：(eq \(a,\s\up6(→)) eq —2eq \(b,\s\up6(→)))⊥eq \(a,\s\up6(→)), (eq \(b,\s\up6(→)) eq —2eq \(a,\s\up6(→)))⊥eq \(b,\s\up6(→)), 则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角是 ( B )
A. eq \f(π,6) B. eq \f(π,3) C. eq \f(2π,3) D. eq \f(5π,6)
10. 已知O,N,P在ΔABC所在平面内，且|eq \(OA,\s\up6(→))|=|eq \(OB,\s\up6(→))|=|eq \(OC,\s\up6(→))|, eq \(NA,\s\up6(→))+eq \(NB,\s\up6(→))+eq \(NC,\s\up6(→))=eq \(0,\s\up6(→)), eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))=eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→)),则点O,N,P依次是ΔABC的 ( C )
A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心
C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心
11. 已知eq \(a,\s\up6(→))=(λ, 2), eq \(b,\s\up6(→))=( eq —3,5), 且eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( A )
A. ( eq \f(10,3), +∞) B. [ eq \f(10,3),+∞) C. ( eq —∞, eq \f(10,3)) D. ( eq —∞, eq \f(10,3)]
12. 已知|eq \(a,\s\up6(→))|=2, |eq \(b,\s\up6(→))|=1, 且关于x的方程x2+|eq \(a,\s\up6(→))|x+eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))=0有实根，则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角的取值范围是( B )
A. [0, eq \f(π,6)] B. [ eq \f(π,3) , π] C. [ eq \f(π,3) , eq \f(2π,3) ] D. [ eq \f(π,6), π]
13. 若|eq \(a,\s\up6(→))|=6, |eq \(b,\s\up6(→))|=12, 且(λeq \(a,\s\up6(→))+eq \(b,\s\up6(→)))⊥(λ eq \(a,\s\up6(→)) eq —eq \(b,\s\up6(→)))，则λ的值是 ±2 .
14. 已知|eq \(a,\s\up6(→))|=4, |eq \(b,\s\up6(→))|=3, eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为60°, 则|eq \(a,\s\up6(→))+eq \(b,\s\up6(→))|= eq \r(37) , |eq \(a,\s\up6(→)) eq —eq \(b,\s\up6(→))|= eq \r(13) .
15 .如图，在ΔABC中，∠BAC=120°, AB=2, AC=1, D是边BC上一点， DC=2DB，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))= eq — eq \f(8,3) .
16 .如图，平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(OB,\s\up6(→)),eq \(OC,\s\up6(→)),其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°, eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°, 且|eq \(OA,\s\up6(→))|=|eq \(OB,\s\up6(→))|=1, |eq \(OC,\s\up6(→))|=2 eq \r(3), 若eq \(OC,\s\up6(→)) = λeq \(OA,\s\up6(→)) + μeq \(OB,\s\up6(→)) (λ , μ∈R), 则λ+μ的值为 6 .
17. 已知|eq \(a,\s\up6(→))|=3, |eq \(b,\s\up6(→))|=4, eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为 eq \f(3π,4) .
(1) (3eq \(a,\s\up6(→)) eq —2eq \(b,\s\up6(→)))·(eq \(a,\s\up6(→)) eq —2eq \(b,\s\up6(→)))； (2) |eq \(a,\s\up6(→))+eq \(b,\s\up6(→))|
答案：(1) 91+48 eq \r(2) (2) eq \r(25-12\r(2))
18. 在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(a,\s\up6(→)), eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(b,\s\up6(→)), eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(c,\s\up6(→)), eq \(DA,\s\up6(→))=eq \(d,\s\up8(→)), 且eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))=eq \(b,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))=eq \(c,\s\up6(→))·eq \(d,\s\up8(→))=eq \(d,\s\up8(→))·eq \(a,\s\up6(→)) . 试判断四边形ABCD是什么图形.
答案：矩形