人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试精练

这是一份人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试精练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《平面向量》专题训练一、选择题1．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)A．2－　　　　　　　 B．－＋2C. －      D．－＋解析：依题意得：2(－)＋(－)＝0，＝2－.答案：A2．(2011·济南模拟)若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝(　　)A．－      B.C．2       D．－2解析：因为a＝(1,2)，b＝(－3,0)，所以2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)，又因为(2a＋b)∥(a－mb)，所以(－1)×2＝4(1＋3m)，解得m＝－.答案：A3．(2011·浙江高考改编)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是(　　)A．[，]      B．[，]C．[－，]      D．[－，]解析：依题意有|α||β|sinθ＝，即sinθ＝，由|β|≤1，得sinθ≥，又0≤θ≤π，故有≤θ≤.答案：B4．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)A.－1     B．1C.      D．2解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.答案：B5．在△ABC中，若对任意的实数m，都有|－m· |≥| |，则△ABC为(　　)A．直角三角形     B．锐角三角形C．钝角三角形     D．不能确定其形状解析：令m·＝，－＝，对任意实数m总有| |≥||，所以AC⊥BC.即△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．
 答案：A6．(2011·淄博模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)A．3      B. C．2      D.[ : ]解析：法一：由点G是△ABC的重心，知＋＋＝0，得－＋(－)＋(－)＝0，则＝(＋)．又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ (且λ＋μ＝1)，则＝λx＋μy＝(＋)，所以于是得＋＝3，所以＝＝.法二：特殊点法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.答案：B二、填空题7．(2011·安徽高考)已知向量a，b满足 (a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__________．解析：设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.答案：8．(2011·南昌模拟)在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，重心为G，若a＋b＋c＝0，则∠A＝________.解析：由G为△ABC的重心知＋＋＝0，＝－－.因此由题意有a＋b＋c(－－)＝(a－c) ＋(b－c) ＝0；又、不共线，因此有a－c＝b－c＝0，即a＝b＝c，cosA＝＝＝；又0<A<π，所以A＝.答案：9．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝6，AC＝4，点D为AC的中点，点E在边AB上，且3AE＝AB，BD与CE交于点G，则·＝________.解析：∵E，G，C三点共线，∴设＝x＋(1－x) ＝x＋.又∵B，G，D三点共线，∴设＝y＋(1－y) ＝y＋.∴⇒∴＝＋.∴·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝×16－×36＝－.答案：－三、解答题10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，P(cosα，sinα)，其中0≤α≤.(1)若cosα＝，求证：⊥；(2)若∥，求sin(2α＋)的值．解：(1)证明：法一：由题设，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)，所以·＝(－cosα)(－cosα)＋(－sinα)2＝－cosα＋cos2α＋sin2α＝－cosα＋1.因为cosα＝，所以·＝0.故⊥.法二：因为cosα＝，0≤α≤，所以sinα＝，所以点P的坐标为(，)．所以＝(，－)，＝(－，－)．·＝×(－)＋(－)2＝0，故⊥.(2)由题设，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)．因为∥，所以－sinα·(－cosα)－sinαcosα＝0，即sinα＝0.因为0≤α≤，所以α＝0.从而sin(2α＋)＝.11．(2011·临沂模拟)已知向量a＝(sinωx，－cosωx)，b＝(cosωx，cosωx)(ω>0)，函数f(x)＝a·b＋，且函数f(x)的图像中任意两相邻对称轴间的距离为π.(1)求ω的值；(2)已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f(C)＝，且c＝2，△ABC的面积S＝2，求a＋b的值．解：(1)由题知，f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－(cos2ωx＋1)＋＝sin2ωx－cos2ωx＝sin(2ωx－)．∵函数f(x)的图像中任意两相邻对称轴间的距离为＝π.∴T＝2π.∴＝2π，解得ω＝.(2)由(1)知，f(x)＝sin(x－)，所以f(C)＝sin(C－)＝.∵0<C<π，∴－<C－<.[ :  ]故C－＝，即C＝.∵S＝absinC＝ab·＝2，∴ab＝8. ∴由余弦定理可得(2)2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.∴(a＋b)2＝76＋3ab＝76＋24＝100.∴a＋b＝10.12．已知函数f(x)＝sin(2x－)＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．解：(1)f(x)＝sin(2x－)＋2cos2x－1＝sin2x－cos2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)由f(A)＝，得sin(2A＋)＝.∵<2A＋<2π＋，∴2A＋＝.∴A＝.由b，a，c成等差数列得2a＝b＋c.··＝9，∴bccosA＝9.∴bc＝18.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc.∴a2＝4a2－3×18，即a2＝18，a＝3.