2021学年3.2 简单的三角恒等变换综合训练题

章末质量评估(三)

(时间：100分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝(　　)．

A.     B.      C.       D.

解析　sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°

＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14°

＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝.

答案　A

2．若＝3，则cos2θ＋sin 2θ的值是(　　)．

A．－         B．－       C.            D.

解析　∵tan θ＝，

∴原式＝＝＝＝＝.

答案　D

3．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α＝(　　)．

A.           B.            C．－          D．－

解析　∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)，

由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，

由sin β＝－得cos β＝，

∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝×＋×＝.

答案　A

4．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有(　　)．

A．c<a<b  B．b<c<a  C．a<b<c  D．b<a<c

解析　a＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，

b＝2cos213°－1＝cos 26°＝sin 64°，

c＝＝sin 60°，∴c<a<b.

答案　A

5．在△ABC中，若0<tan Atan B<1，则△ABC是(　　)．

A．钝角三角形   B．锐角三角形

C．直角三角形   D．不能确定

解析　∵0<tan Atan B<1，∴0<A，B<，

又tan Atan B＝·<1，

∴cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)>0，

∴A＋B<，∴C>，

∴△ABC为钝角三角形．

答案　A

6．若x∈，cos x＝，则tan 2x等于(　　)．

A.           B．－          C.         D．－

解析　∵x∈，cos x＝，∴sin x＝－，∴tan x＝－，∴tan 2x＝＝－.

答案　D

7．函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为(　　)．

A.           B.           C．π          D．2π

解析　y＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x)2＋cos2x＝2＋＝cos 4x＋.∴T＝.

答案　B

8．已知sin＝，则sin 2x的值为(　　)．

A.          B.           C.           D.

解析　sin 2x＝cos＝cos 2＝1－2sin2＝1－2×2＝.

答案　D

9．(2012·日照高一检测)当函数y＝sincos取得最大值时，tan x的值为(　　)．

A．1           B．±1         C.            D．－1

解析　y＝

＝(sin2x＋cos2x)＋sin xcos x＋sin x cos x

＝＋sin 2x.

当sin 2x＝1时，ymax＝，

此时2x＝2kπ＋，x＝kπ＋(k∈Z)，∴tan x＝1.

答案　A

10．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是(　　)．

A．向左平移个单位   B．向右平移个单位

C．向右平移个单位   D．向左平移个单位

解析　令y＝sin x＋cos x

＝sin＝f(x)，

则y＝sin x－cos x＝sin

＝sin ＝f，

∴y＝sin x＋cos xy＝sin x－cos x.

答案　C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

11．化简的结果是________．

解析　原式＝

＝

＝|cos 1|.

又0<1<，∴cos 1>0，

∴原式＝cos 1.

答案　cos 1

12．给定两个长度为1的平面向量和，

它们的夹角为120°.如图，点C在以O为圆心

的圆弧上变动，若＝x＋y，其中

x，y∈R，则x＋y的最大值是________．

解析　建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，

B(cos 120°，sin 120°)，即B.

设∠AOC＝α，则＝(cos α，sin α)．

∵＝x＋y＝(x,0)＋＝(cos α，sin α)，

∴∴

∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．

∵0°≤α≤120°，

∴30°≤α＋30°≤150°

∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取得最大值2.

答案　2

13．已知sin x－cos x＝sin xcos x，则sin 2x＝________.

解析　∵sin x－cos x＝sin xcos x，

∴(sin x－cos x)2＝(sin xcos x)2

1－2sin xcos x＝(sin xcos x)2，

∴令t＝sin xcos x，则1－2t＝t2.

即t2＋2t－1＝0，

∴t＝＝－1±.

又∵t＝sin xcos x＝sin 2x∈，

∴t＝－1，∴sin 2x＝2－2.

答案　2－2

14．(2012·长沙高一检测)关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：

①y＝f(x)的最大值为；

②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；

③y＝f(x)在区间上单调递减；

④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)

解析　f(x)＝cos＋cos

＝cos－sin＝cos，

∴f(x)max＝，即①正确．

T＝＝＝π，即②正确．

f(x)的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)．

即kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，

k＝0时，≤x≤，所以③正确．

将函数y＝cos 2x向左平移个单位得

y＝cos≠f(x)，∴④不正确．

答案　①②③

三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(10分)已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin 、cos 、tan 的值．

解　∵|cos θ|＝，<θ<3π，

∴cos θ＝－，<<.

由cos θ＝1－2sin2，

有sin ＝－ ＝－ ＝－.

又cos θ＝2cos2－1，

有cos ＝－ ＝－，tan ＝＝2.

16．(10分)求证：

＝tan .

证明　左式

＝

＝＝

＝＝＝＝tan .

17．(10分)已知sinsin＝，x∈，求sin 4x的值．

解　因为＋＝，

所以sinsin

＝sincos

＝

＝sin＝cos 2x＝，所以cos 2x＝.

又x∈，所以2x∈(π，2π)，

所以sin 2x<0，所以sin 2x＝－.

所以sin 4x＝2sin 2xcos 2x＝2××＝－1.

18．(12分)已知sin α＝，cos β＝－，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．

解　因为sin α＝，cos β＝－，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－＝－，sin β＝＝.

故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，sin(α－β)＝sinαcos β－cos αsin β＝×－×＝.

19．(12分)设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，

b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝.

(1)求tan α；

(2)求.

解　(1)a＋b＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)

＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝.

∴2cos αcos β＝，2sinαcos β＝，∴tan α＝.

(2)＝＝＝－.