人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积同步练习题

2.4 第1课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义

一、选择题

1．(2010·重庆理，2)已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(　　)

A．0　　  B．2

C．4     D．8

[答案]　B

[解析]　∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，

∴|2a－b|＝2.

2．已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)

A.     B.

C.     D.

[答案]　B

[解析]　由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，∴cosθ＝，θ＝.

[点评]　数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式

(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，

(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，

a2－b2＝(a＋b)·(a－b)，

|a|2＝a2＝a·a.

3．如右图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　)

A.·

B.·

C.·

D.·

[答案]　A

[分析]　先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小．

[解析]　设正六边形的边长是1，则·＝1××cos30°＝；·＝1×2×cos60°＝1；·＝1××cos90°＝0；·＝1×1×cos120°＝－.

4．(2010·湖南理，4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)

A．－16    B．－8

C．8     D．16

[答案]　D

[解析]　因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16.

5．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)

A．外心    B．内心

C．重心    D．垂心

[答案]　D

[解析]　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.

同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．

6．已知△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)

A．等边三角形   B．锐角三角形

C．直角三角形   D．钝角三角形

[答案]　C

[解析]　由－·＝·＋·，

得·(－)＝·(－)，

即·＝·，∴·＋·＝0，

∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，

所以△ABC是直角三角形，故选C.

7．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)

A．正三角形   B．直角三角形

C．等腰三角形   D．A、B、C均不是

[答案]　C

[解析]　由(－)·(＋－2)＝0，得

·(＋)＝0，又∵＝－，∴(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0.

∴||＝||.∴△ABC为等腰三角形．

[点评]　若设BC中点为D，则有＋＝2，

故由·(＋)＝0得·＝0，

∴CB⊥AD，∴AC＝BC.

8．(09·陕西文)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝，则·(＋)等于(　　)

A．－    B．－

C.      D.

[答案]　A

[解析]　如图，∵＝，∴||＝||＝，∴·(＋)

＝·(＋＋＋)

＝·(2＋2)

＝22＋2·

＝2×＋2×cos180°

＝－，故选A.

9．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)

A.     B.

C.     D.

[答案]　C

[解析]　根据向量数量积的意义，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝4cosθ＝2及0≤θ≤π，可得θ＝，选C.

10．若|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使kb－a与a垂直，则k＝(　　)

A．±2     B．±

C.     D．2

[答案]　D

[解析]　若kb－a与a垂直，则(kb－a)·a＝0，

即ka·b－|a|2＝0，∴k|a|·|b|cos45°－|a|2＝0，解得k＝2.

二、填空题

11．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α，β的夹角为________．

[答案]　90°

[解析]　∵|α＋β|＝|α－β|，

∴(α＋β)2＝(α－β)2，

即α2＋2α·β＋β2＝α2－2α·β＋β2，

∴α·β＝0，∴α，β的夹角为90°.

12．已知平面上三点A、B、C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于________．

[答案]　－25

[解析]　由条件知∠ABC＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－16－9＝－25.

[点评]　注意与的夹角不是角B，应是π－B.

13．(08·北京)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．

[答案]　0

[解析]　∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉

＝4×4cos120°＝－8，

∴b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝0.

14．(09·天津文)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足C＝C＋C，则M·M＝______________.

[答案]　－2

[解析]　∵C＝C＋C，

∴M＝C－C＝C－C，

M＝C－C＝C－C.

∴M·M＝－C2－C2＋C·C

＝－×12－×12＋×12×＝－2.

三、解答题

15．已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．

[解析]　由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，

设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，

∴cosθ＝<0，

∴(a＋λb)(λa＋b)<0.

λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，

∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，

∴<λ<.

若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，

∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，

∵a，b不共线，∴，∴k＝λ＝－1，

∴<λ<且λ≠－1.

[点评]　本题易忽视θ＝180°时，也有a·b<0，忘掉考虑夹角不是钝角而致误．

*16.已知a，b是两个非零向量，证明：当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．

[解析]　当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，b·(a＋λb)＝0，∴λ＝－.

|a＋λb|2＝λ2b2＋2λa·b＋a2

＝b2

＝b22＋a2－2.

当λ＝－时，|a＋λb|取得最小值．即当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．

[点评]　本题是将向量、函数的知识有机地结合起来，考查了向量与函数知识的综合应用．要注意a＋λb的模是一个关于λ的二次函数．

*17.已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在θ，使|a＋b|＝|a－b|成立，若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

[解析]　假设满足条件的θ存在，由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)2＝3(a－b)2.

∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，

即|a|2－4a·b＋|b|2＝0，

∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0，

由Δ≥0，得(4cosθ)2－4≥0，

解得cosθ≤－或cosθ≥，

又cosθ∈[－1,1]，

∴－1≤cosθ≤－或≤cosθ≤1，

∵θ∈[0，π]，∴θ∈∪，

故当θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立．