数学2.2 平面向量的线性运算一课一练

双基达标　限时20分钟

1．在四边形ABCD中，设A＝a，＝b，＝c，则＝(　　)．

A．a－b＋c   B．b－(a＋c)

C．a＋b＋c   D．b－a＋c

解析　＝＋＋＝a－b＋c.

答案　A

2．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于(　　)．

A．1  B.  C.  D.

解析　设＝a，＝b，以OA、OB为邻边作▱ OACB，则a－b＝.

∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，

∴▱OACB中，OA＝1，OB＝2，BA＝2，

由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a＋b|＝||＝.

答案　D

3．当a，b满足下列何种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立(　　)．

A．a与b同向

B．a与b反向

C．a与b同向且|a|≤|b|

D．a与b反向且|a|≥|b|

解析　当a与b反向且|a|≥|b|时，

|a＋b|＝|a|－|b|.

答案　D

4．化简下列各式：①－＋；②＋＋－；③－－；④－＋－.结果为零向量的个数是________．

解析　①－＋＝＋＝0；

②＋＋－＝＋＋＋＝＋＝0；

③－－＝－＝0；

④－＋－＝＋＋＋＝＋＝0.

答案　4

5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.

解析　－－＋＋

＝(－)－(－)＋＝－＋＝.

答案　

6．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：

(1)；(2)；

(3)＋＋.

解　(1)＝－＝c－a.

(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.

(3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.

综合提高　限时25分钟

7．下列四式中不能化简为的是(　　)．

A.＋(＋)

B．(＋)＋(－)

C.－＋

D.＋－

解析　A中，＋＋＝＋＝；

B中，(＋)＋(－)＝0　＋＋＝；

C中，＋－＝0　＋＝；

D中，＋－＝－＝＋≠.

答案　D

8．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)．

A．1          B．2         C.        D.

解析　作菱形ABCD，

则|－|＝|－|＝||＝.

答案　D

9．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若||＝||＝||，则点O是三角形ABC的________心．

解析　由||＝||＝||可得，O点到三角形各顶点的距离相等．可见满足||＝||＝||的点O是三角形ABC的外心．

答案　外心

10．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.

解析　因为＝，

＝－，＝－，所以－＝－，

＝－＋.所以＝a－b＋c.

答案　a－b＋c

11．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：

(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.

解　(1)由已知得a＋b＝＋＝，又＝c，∴延长AC到E，

使||＝||.

则a＋b＋c＝，且||＝2.

∴|a＋b＋c|＝2 .

(2)作＝，连接CF，

则＋＝，

而＝－＝a－＝a－b，

∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.

∴|a－b＋c|＝2.

12．(创新拓展)已知|a|＝8，|b|＝15.

(1)求|a－b|的取值范围．

(2)若|a－b|＝17，则表示a，b的有向线段所在的直线所成的角是多少？

解　(1)由向量三角不等式

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|

得7≤|a－b|≤23，

当a，b同向时，不等式左边取等号

当a，b反向时，不等式右边取等号．

(2)易知|a|2＋|b|2＝82＋152＝172＝|a－b|2，

作＝a，＝b，

则||＝|a－b|＝17，

∴△OAB是直角三角形，

其中∠AOB＝90°.

∴表示a，b的有向线段所在的直线成90°角．