高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）巩固练习

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质

1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.

解析：由图可知，＝2π－π，

∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，

∴y＝sin(x＋φ)．

又∵sin(×π＋φ)＝－1，

∴sin(π＋φ)＝－1，

∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.

∵－π≤φ<π，∴φ＝π.

答案：π

2．(2010年南京调研)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.

解析：由图象知T＝2(－)＝π.

∴ω＝＝2，把点(，1)代入，可得2×＋φ＝，φ＝.

答案：

3．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________．

解析：∵f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，

∴＝π，故ω＝2.

又f(x)＝sin(2x＋)

g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x.

答案：向左平移个单位长度

4．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) 的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.

解析：＝π－π＝，

∴ω＝＝3.

又(π，0)是函数的一个上升段的零点，

∴3×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，

代入f()＝－，得A＝，∴f(0)＝.

答案：

5．将函数y＝sin(2x＋)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－，0)中心对称．

解析：由y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)可知其函数图象关于点(－，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－，0)对称，只需向右平移即可．

答案：右　

6．(2010年深圳调研)定义行列式运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．

解析：由题意，知f(x)＝sinx－cosx＝2(sinx－cosx)＝2sin(x－)，

其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－＋m)，平移后其对称轴为x－＋m＝kπ＋，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋(k∈Z)，故m的最小值为.

答案：

7．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为________．

解析：y＝tan(ωx＋)向右平移个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－)＋]，

即y＝tan(ωx＋－)，显然当－＝＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为.

答案：

8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是；②函数y＝sin(x－)在区间[π，]上单调递增；③x＝是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．

解析：由于函数y＝sin(2x＋)的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是，①正确；y＝sin(x－)＝cosx，该函数在[π，)上单调递增， ②正确；当x＝时，y＝sin(2x＋)＝sin(＋)＝sin(＋)＝cos＝－，不等于函数的最值，故x＝不是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴，③不正确．

答案：2

9．(2009年高考上海卷)当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．

解析：当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．

当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．

故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.

答案：k≤1

10．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.

(1)求ω的值；

(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．

解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin(2ωx＋)＋2，

依题意，得＝，故ω＝.

(2)依题意，得

g(x)＝sin[3(x－)＋]＋2＝sin(3x－)＋2.

由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

故g(x)的单调增区间为

[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．

11．(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．

解：(1)由最低点为M(，－2)得 A＝2.

由T＝π得ω＝＝＝2.

由点M(，－2)在图象上得

2sin(＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，

∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－，k∈Z.

又φ∈(0，)，∴φ＝，

∴f(x)＝2sin(2x＋)．

(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，

∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.

12．(2009年高考福建卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.

(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

解：法一：(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得

coscosφ－sinsinφ＝0，

即cos(＋φ)＝0.又|φ|<，

∴φ＝.

(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋)．

依题意，＝，又T＝，故ω＝3，

∴f(x)＝sin(3x＋)．

函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为

g(x)＝sin[3(x＋m)＋]，

g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，

即m＝＋(k∈Z)．

从而，最小正实数m＝.

法二：(1)同法一．

(2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋)．

依题意，＝.又T＝，故ω＝3，

∴f(x)＝sin(3x＋)．

函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为

g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．

g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，

亦即sin(－3x＋3m＋)＝sin(3x＋3m＋)对x∈R恒成立．

∴sin(－3x)cos(3m＋)＋cos(－3x)·sin(3m＋)

＝sin3xcos(3m＋)＋cos3xsin(3m＋)，

即2sin3xcos(3m＋)＝0对x∈R恒成立．

∴cos(3m＋)＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，

∴m＝＋(k∈Z)，

从而，最小正实数m＝.