高中数学人教版新课标A必修41.5 函数y=Asin（ωx+ψ）课后练习题

1．(2009年高考浙江卷改编)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________．

解析：函数的最小正周期为T＝，∴当|a|>1时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．

答案：④

2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于________．

解析：y＝sin(x－)＝sin(x－＋2π)＝sin(x＋)．

答案：

3．将函数f(x)＝sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．

解析：因为f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为.

答案：

4．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．

①函数f(x)的最小正周期为；

②函数f(x)的振幅为2；

③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π；

④函数f(x)的单调递增区间为[，π]；

⑤函数的解析式为f(x)＝sin(2x－π)．

解析：据图象可得：A＝，＝－⇒T＝π，故ω＝2，又由f()＝⇒sin(2×＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－，故f(x)＝sin(2x－)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[，]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．

答案：③⑤

5．(原创题)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________．

解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，则2010≥⇒ω≥.

答案：

6．(2010年苏北四市质检)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

(1)求ω；

(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．

解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋

＝sin(2ωx＋)＋，

令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1.

(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，

经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x－)＋，

当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值.

令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

∴4kπ＋≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．

即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间．