人教版新课标A必修53.4 基本不等式随堂练习题

第三章  不等式

本章归纳整合

高考真题

1．(2011·陕西卷)设0<a<b，则下列不等式中正确的是       (　　)．

A．a<b<<        B．a<<<b

C．a<<b<        D.<a<<b

解析　∵0<a<b，∴a<<b，A，C错误；－a＝(－)>0，即>a，故选B.

答案　B

2．(2011·广东卷)不等式2x2－x－1>0的解集是        (　　)．

A.          B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞)       D.∪(1，＋∞)

解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为∪(1，＋∞)．

答案　D

3．(2011·福建卷)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是                                                                                                                                                                                                                    (　　)．

A．(－1,1)          B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)      D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析　∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2.

答案　C

4．(2011·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为                                                                                                                                                                             (　　)．

A．－4      B．0      C.      D．4

解析　表示的平面区域如图所

示．

z＝3x－y在(2,2)取得最大值．

zmax＝3×2－2＝4.

答案　D

5．(2011·浙江卷)设实数x，y满足不等式组且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是                                                                                                                                                                            (　　)．

A．14           B．16      

C．17           D．19

解析　作出可行域，如图中阴影部分所示，点  

A(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符

合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝

16.

答案　B

6．(2011·重庆卷)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是    (　　)．

A.       B．4      C.      D．5

解析　∵a＋b＝2，∴＝1，

∴＋＝＝＋≥＋2 ＝当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立，故y＝＋的最小值为.

答案　C

7．(2011·北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品                                                                                    (　　)．

A．60件     B．80件     C．100件    D．120件

解析　设每件产品的平均费用为y元，由题意，得

y＝＋≥2 ＝20.

当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.

答案　B

8．(2011·全国课标卷)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为________．

解析　作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．

易知直线z＝x＋2y过点B时，z有最小值．

由得

所以zmin＝4＋2×(－5)＝－6.

答案　－6

9．(2011·湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)

解　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知，得

解得

故函数v(x)的表达式为v(x)＝

(2)依题意并由(1)，可得f(x)＝

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；

当20<x≤200时，

f(x)＝x(200－x)≤2＝，

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．