高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.4 基本不等式当堂达标检测题

模块检测

(时间：100分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是        (　　)．

A.<     B.<    C．a2<b2     D．|a|>|b|

解析　如果a<0，b>0，那么<0，>0，

∴<.

答案　A

2．(2012·大连统考(二))△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝                                                                                                                                                                        (　　)．

A.      B.      C.      D.

解析　由题意，得b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cos B＝＝＝，故选B.

答案　B

3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是 (　　)．

A．an＝2n－2(n∈N*)       B．an＝2n＋4(n∈N*)

C．an＝－2n＋12(n∈N*)      D．an＝－2n＋10(n∈N*)

解析　由得或

∵d<0，∴取a2＝6，a4＝2，

∴d＝(a4－a2)＝－2，

∴an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)

  ＝10－2n.

答案　D

4．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是    (　　)．

A．(－∞，2]        B．[2，＋∞)

C．[3，＋∞)        D．(－∞，3]

解析　∵x>1，∴x＋＝(x－1)＋＋1≥

2 ＋1＝3.∴a≤3.

答案　D

5．等差数列{an}满足a42＋a72＋2a4a7＝9，则其前10项之和为     (　　)．

A．－9     B．－15     C．15      D．±15

解析　a42＋a72＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9，

∴a4＋a7＝±3，∴a1＋a10＝±3，

∴S10＝＝±15.

答案　D

6．在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C＝    (　　)．

A.     B.      C.      D.

解析　由三角形的面积公式，得S＝AB·BCsin ＝，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ，得AC＝，再由三角形的面积公式，得S＝AC·BCsin C＝，即可得出sin C＝，选B.

答案　B

7．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是    (　　)．

A．等腰三角形        B．直角三角形

C．等边三角形        D．等腰直角三角形

解析　∵lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，

∴lg＝lg 2.∴sin A＝2cos Bsin C，∵A＋B＋C＝180°，∴sin(B＋C)＝2cos Bsin C，∴sin(B－C)＝0.

∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形．

答案　A

8．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)．

A．1<x<3         B．x<1或x>3

C．1<x<2         D．x<1或x>2

解析　设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0，恒成立⇔⇔⇔x<1或x>3.

答案　B

9．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是     (　　)．

A．90       B．80         C．70          D．40

解析　作出可行域如图所示．

由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－，而

3x＋2y＝0的斜率为－，故线性目标函数的倾斜角大于

2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图

知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大

值为70.

答案　C

10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还                                                                                                                                                                        (　　)．

A.万元        B.万元

C.万元        D.万元

解析　设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝

答案　B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)．

11．在数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，则an＝________.

解析　an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，

∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，

∴an＋2＝an＋1(n≥1)．

∵a2＝S1＝，

∴an＝

答案　

12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝csin A，则的最大值为________．

解析　∵a＝csin A，∴sin A＝sin C·sin A.

∴sin C＝1.C＝90°.∴A＋B＝90°，

∴＝＝sin A＋sin B

＝sin A＋cos A＝sin(A＋45°)≤.

答案　

13.(2011·安徽“三校”联考)2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．

解析　由题，可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理，得＝，解得AN＝20米，在Rt△AMN中，MN＝20sin 60°＝30米．故旗杆的高度为30米．

答案　30

14．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为________．

解析　由f(x)>0，得32x－k·3x＋2>0，

解得k<3x＋，

而3x＋≥2，

∴k<2.

答案　(－∞，2)

三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

15．(10分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5；S3，S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式．

解　设等差数列{an}的首项a1＝a，公差为d，则Sn＝na＋d，依题意，有

整理得

∴a＝1，d＝0或a＝4，d＝－.

∴an＝1或an＝－n，经检验，an＝1和an＝－n均合题意．

∴所求等差数列的通项公式为an＝1或an＝－n.

16．(10分)在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，若2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，求b.

解　∵S△ABC＝acsin B＝acsin 30°＝，

∴ac＝6.∵2b＝a＋c.

由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°，

∴b2＝4b2－12－6，

得b2＝4＋2，∴b＝1＋.

17．(10分)(2012·郑州模拟)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．

(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？

解　(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则

y＝50n－98－[12×n＋×4]

＝－2n2＋40n－98

＝－2(n－10)2＋102

∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．

(2)年平均利润为

＝－2(n＋－20)

≤－2(2 －20)＝12，

当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．

所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．

18．(12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，

(1)求不等式g(x)<0的解集；

(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．

解　(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，

∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2<x<4，

∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．

(2)∵f(x)＝x2－2x－8.

当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，

∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，

即x2－4x＋7≥m(x－1)．

∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．

而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)．

∴实数m的取值范围是(－∞，2]．

19．(12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A－1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2海里的C处的缉私船奉命以10海里的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

解　设缉私船用t h在D处追上走私船，如图则有CD＝

10t，BD＝10t，

在△ABC中，∵AB＝－1，

AC＝2，∠BAC＝120°，

∴由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC

＝(－1)2＋22－2×(－1)×2cos 120°＝6.

∴BC＝.

由正弦定理，得

sin ∠ABC＝＝＝.

∴∠ABC＝45°，∴BC为东西方向，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得

sin ∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．