人教版新课标A必修53.4 基本不等式测试题

3-4-1技能训练

基础巩固强化

一、选择题

1．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)

A.　　　　　　　　　 B．a2＋b2

C．2ab   D．a

2．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是(　　)

A．2   B．3

C．1   D.

3．设a、b是正实数，A＝＋，B＝，则A、B的大小关系是(　　)

A．A≥B   B．A≤B

C．A＞B   D．A＜B

4．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)

A．x＝   B．x≤

C．x＞   D．x≥

5．(2009·天津)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)

A．8   B．4

C．1   D.

6．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　)

A．a2＋b2   B．2

C．2ab   D．a＋b

二、填空题

7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．

8．已知a是正实数，x＝，y＝，z＝，则x、y、z从大到小的顺序是__________．

9．设正数a使a2＋a－2＞0成立，t＞0，比较logat与loga的大小，结果为__________．

三、解答题

10．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．

能力拓展提升

一、选择题

11．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　)

A．有最大值   B．有最小值

C．是增函数   D．是减函数

12．已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是(　　)

A．0   B．1

C．2   D．4

13．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是(　　)

A．a2＋b2>2ab   B．a＋b≥2

C.＋>   D.＋≥2

14．已知0＜a＜1,0＜x≤y＜1，且logax·logay＝1，那么xy(　　)

A．无最大值也无最小值   B．无最大值而有最小值

C．有最大值而无最小值   D．有最大值也有最小值

二、填空题

15．已知a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P、Q、R的大小关系是________．

*16.设点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．

三、解答题

17．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

*18.设a、b、c都是正数，求证：a＋，b＋，c＋三个数中至少有一个不小于2.

详解答案

1[答案]　B

[解析]　∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，

又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，

∵1＝a＋b＞2，

∴ab＜，

∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，

即a2＋b2＞.故选B.

解法2：特值检验法：取a＝，b＝，则

2ab＝，a2＋b2＝，

∵＞＞＞，∴a2＋b2最大．

2[答案]　C

[解析]　∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋

＝4x－5＋＋3＝3－

≤3－2＝1，

等号在5－4x＝，即x＝1时成立，故选C.

3[答案]　C

[解析]　∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，

A2－B2＝(a＋b＋2)－(a＋b)

＝2＞0，∴A2＞B2，

∵A>0，B>0，∴A＞B.

[点评]　可取特值检验．

4[答案]　B

[解析]　∵这两年的平均增长率为x

∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，

∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.

∴1＋x＝≤

＝1＋，∴x≤，

等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.

5[答案]　B

[解析]　根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，

∴＋＝＋＝2＋＋≥4.

当a＝b＝时“＝”成立．故选B.

6[答案]　D

[解析]　解法1：∵0<a<1,0<b<1，

∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，

∴a＋b>a2＋b2，故选D.

解法2：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．

7[答案]　

[解析]　∵0<x<1，∴1－x>0，

∴x(1－x)≤[]2＝，

等号在x＝1－x，即x＝时成立，

∴所求最大值为.

8[答案]　x>z>y

[解析]　 ∵a>0，∴2<＋<2

∴>>，即x>z>y.

9[答案]　logat≤loga

[解析]　∵a2＋a－2>0，∴a<－2或a>1，

又a>0，∴a>1，

∵t>0，∴≥，∴loga≥loga＝logat.

10[解析]　不对．设左右臂长分别为l1，l2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b，真实重量为G，则由杠杆平衡原理有：

l1·G＝l2·a，①

l2·G＝l1·b，②

①×②得G2＝ab，∴G＝，由于l1≠l2，故a≠b，

由均值不等式＞知说法不对，

真实重量是两次称量结果的几何平均数.

11[答案]　A

[解析]　∵x<0，∴f(x)＝2x＋－1

≤－2－1

＝－2－1，

等号在－2x＝，即x＝－时成立．

∴f(x)有最大值．

12[答案]　D

[解析]　由等差、等比数列的性质得

＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.

13[答案]　D

[解析]　a＝b时，A不成立；a，b<0时，B、C都不成立，故选D.

[点评]　对于D选项，∵ab>0，∴>0，∴＋≥2＝2.

14[答案]　C

[解析]　∵0<a<1,0<x≤y<1，∴logax>0，logay>0，

1＝logax·logay≤()2＝[loga(xy)]2

＝(loga)2，

∵0<<1，∴loga>0，∴loga≥1，

∴0<≤a，∴0<xy≤a2，

等号在logax＝logay即x＝y时成立，

∴xy有最大值a2，在x＝y＝a时取得；无最小值，选C.

15[答案]　P<Q<R

[解析]　因为a>b>1，所以lga>lgb>0，

所以(lga＋lgb)>，即Q>P，

又因为>，所以lg>lg＝(lga＋lgb)，所以R>Q.故P<Q<R.

[点评]　(1)根据P、Q、R式子的结构，应用重要不等式，再运用函数y＝lgx的单调性．

(2)若把条件改为1>a>b>0，P、Q、R的大小关系怎样？

16[答案]　－2

[解析]　∵(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限的图象上运动，

∴m＋n＝1且m>0，n>0.

∴mn≤2＝，当且仅当m＝n＝时等号成立．

∴log2m＋log2n＝log2(mn)≤log2＝－2.

∴log2m＋log2n的最大值为－2.

17[解析]　设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，

故有y＝＋100x

≥2＝24 000(元)．

当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．

所以只需每批购入120台，可使资金够用．

18[解析]　假设a＋，b＋，c＋都小于2，即a＋<2，b＋<2，c＋<2，

则a＋＋b＋＋c＋<6，

当a、b、c都是正数时，

a＋＋b＋＋c＋

＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)

≥2＋2＋2＝6与上式矛盾．

∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.