数学3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性习题

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3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域双基达标　限时20分钟1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是       (　　)．A．(0,0)     B．(1,1)     C．(0,2)     D．(2,0)解析　将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.答案　D2．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)．A．(－24,7)          B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)      D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析　因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24，故选B.答案　B3.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是  (　　)．A.B.C.D.解析　观察图象可知，阴影部分在直线y＝－2上方，且不包含直线y＝－2，故可得不等式y>－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.答案　C4．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．解析　如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可  用两点式或点斜式写出)．直线AC的方程为2x＋y－5＝0，直线BC的方程为x－y＋2＝0，把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.∴同理可得△ABC区域(含边界)为答案　5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．解析　不等式组表示的平面区域如图中  的阴影部分所示，用平行于x轴的直线截该平面区域，若 得到一个三角形，则a的取值范围是5≤a<7.答案　[5,7)6．(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)画出不等式(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域．解　(1)不等式组表示的平面区域如图(1)中阴影部分所示．(2)不等式(x－y)(x－y－1)≤0等价于不等式组或而不等式组无解，故(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域如图(2)(阴影部分)．综合提高　限时25分钟7．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是      (　　)．解析　原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.答案　C8．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是                                                                                                                                                                                        (　　)．A.      B.     C.     D.解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以求得点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(0,4)，.由直线y＝kx＋恒过点C，且平面区域被此直线分为面积相等的两部分，观察图象可知，当直线y＝kx＋与直线  3x＋y＝4的交点D的横坐标为点A的横坐标的一半时，可满足要求．因此xD＝，代入直线3x＋y＝4，可得yD＝，故点D的坐标为，代入直线y＝kx＋，即＝k×＋，解得k＝，故选A.答案　A9．不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积为________．解析　原不等式等价于其表示的平面区域如图中阴影部分．∴S＝()2＝2.答案　210．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________．解析　由点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，得m＝7或m＝－3.又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，当m＝－3时，点P的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m＝7时，点P的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m＝－3.答案　－311．求不等式组表示的平面区域的面积．解　不等式组等价于①或②分别作出以上两个不等式组所表示的平面区域，可以发现不  等式组①表示一个点A，不等式组②表示的平面区域如图所 示．因此原不等式组表示的平面区域就是图中阴影部分，其中点A(0,1)，B(－2,3)，C(－2，－1)，于是平面区域的面积为×2×|3－(－1)|＝4.12．(创新拓展)设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋y＝0对称，求不等式组表示的平面区域的面积．解　∵M，N关于直线x＋y＝0对称，∴直线y＝kx＋1垂直于直线x＋y＝0，∴k＝1，∴圆心在x＋y＝0上，∴－－＝0，即m＝－1，∴原不等式组为作出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，即△ABO.易得△ABO为等腰直角三角形，且OA＝1，故阴影部分的面积为.