数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法达标测试
展开3-2-2技能训练基础巩固强化
一、选择题
1.若0<t<1,则不等式x2-(t+)x+1<0的解集是( )
A.{x|<x<t} B.{x|x>或x<t}
C.{x|x<或x>t} D.{x|t<x<}
2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( )
A.-4≤a≤4 B.-4<a<4
C.a≤-4或a≥4 D.a<-4或a>4
3.若f(x)=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是( )
A.m<-2或m>2 B.-2<m<2
C.m≠±2 D.1<m<3
4.若方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0有两个不等实根x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则实数k的取值范围是( )
A.-2<k<-1
B.3<k<4
C.-2<k<4
D.-2<k<-1或3<k<4
5.(2011·河南汤阴县一中高二期中)设对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0总成立.则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>
C.a> D.a>0或a<-12
6.a>0,b>0.不等式-b<<a的解集为( )
A.{x|x<-或x>}
B.{x|-<x<}
C.{x|x<-或x>}
D.{x|-<x<0或0<x<}
二、填空题
7.不等式<1的解集是________.
8.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为________.
9.若关于x的不等式(a-x)(b-x)>0的解集为{x|x<a或x>b},则实数a,b的大小关系是________.
三、解答题
10.解下列关于x的不等式.
(1)x2-(a+1)x+a>0;
(2)ax2-(a+1)x+1>0(a≠0);
(3)x2-(a+1)x+1>0.
能力拓展提升
一、选择题
11.二次方程x2+(a2+1)x+a-2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小,则a的取值范围是( )
A.-3<a<1 B.-2<a<0
C.-1<a<0 D.0<a<2
12.函数y=的定义域为( )
A.[-4,1] B.[-4,0)
C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1]
13.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2-5ax+4a2≤0},A∩B={x|3<x≤4},则a的值为( )
A.1 B.4
C.1或4 D.3
14.已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A.[-1,1] B.[-2,2]
C.[-2,1] D.[-1,2]
二、填空题
15.已知不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|α<x<β},其中0<α<β,则不等式cx2+bx+a<0的解集为________
16.若关于x的不等式x2-3kx-x+2k2+k<0的解集中只有一个整数1,则k的取值范围________.
三、解答题
17.为促进某品牌彩电的销售,厂家设计了两套降价方案.方案①先降价x%,再降价x%,(x>0);方案②一次性降价2x%,问哪套方案降价幅度大?
*18.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.
详解答案
1[答案] D
[解析] 化为(x-t)(x-)<0,
∵0<t<1,∴>1>t,∴t<x<,
2[答案] A
[解析] 欲使不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则△=a2-16≤0,∴-4≤a≤4.
3[答案] A
[解析] ∵f(x)=-x2+mx-1有正值,
∴△=m2-4>0,∴m>2或m<-2.
4[答案] D
[解析] 结合f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2的图象知:⇔⇔⇔
⇔-2<k<-1或3<k<4.
[点评] 注意结合数轴找不等式解集的交集.
5[答案] B
[解析] 设f(x)=x2+ax-3a,则由条件知
,∴,∴a>.
6[答案] A
[解析] ∵b>0∴-b<0,又a>0,∴不等式-b<<a化为-b<<0或0<<a.∴x<-或x>.
∴选A.
7[答案] {x<-4或x>}
[解析] 化为>0,化为(x+4)(3x-1)>0,
∴x<-4或x>.
8[答案] (5,7)
[解析] 不等式|3x-b|<4⇔-4<3x-b<4⇔<x<,若不等式的整数解只有1,2,3,则b应满足0≤<1且3<≤4,即4≤b<7且5<b≤8,
∴5<b<7.
9[答案] a<b
10[解析] (1)变形为(x-a)(x-1)>0,当a>1时,x>a或x<1;当a=1时,x∈R且x≠1;当a<1时,x>1或x<a.
(2)变形为(ax-1)(x-1)>0,令=1得a=1.
∴当a=1时,x∈R且x≠1;当a>1时,0<<1,∴x<或x>1,当0<a<1时,x<1或x>;当a<0时,<x<1.
(3)△=(a+1)2-4=a2+2a-3≥0,∴a≤-3或a≥1.
∴当a=1时,x∈R且x≠1;当a=-3时,x∈R且x≠-1;
当a<-3或a>1时,x<或x>;
当-3<a<1时,x∈R.
[点评] 注意从以下三个方面讨论:
①二次项系数的正负;
②判别式△的符号;
③两根的大小(特别是a<0时).
11[答案] C
[解析] f(x)=x2+(a2+1)x+a-2开口向上,由题设条件,∴,∴-1<a<0.
12[答案] D
[解析] 要使函数有意义,则需,解得-4≤x≤1且x≠0,故定义域为[-4,0)∪(0,1].
13[答案] A
[解析] A={x|x<-1或x>3},∵A∩B={x|3<x≤4},∴x=4是方程x2-5ax+4a2=0的根,∴a2-5a+4=0,∴a=1或4,当a=1时,B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4},∴A∩B={x|3<x≤4}成立;当a=4时,B={x|x2-20x+64≤0}={x|4≤x≤16},∴A∩B={x|4≤x≤16}与条件矛盾,∴a=1.
14[答案] A
[解析] 不等式f(x)≥x2化为
(1)或(2) .
解不等式组(1)得-1≤x≤0;
解不等式组(2)得0<x≤1.
因此原不等式的解集是[-1,1],选A.
15[答案] {x|x>或x<}
[解析] ∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α<x<β},∴a<0且α,β是方程ax2+bx+c=0的两根,
∴α+β=-,αβ=,∴b=-a(α+β),c=aαβ,
∴不等式cx2+bx+a<0化为:
aαβx2-a(α+β)x+a<0,
即:αβx2-(α+β)x+1>0,
∴(αx-1)(βx-1)>0,
∵0<α<β,∴>>0,∴x<或x>.
∴不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>或x<}.
16[答案] (0,]
[解析] 不等式化为x2-(3k+1)x+k(2k+1)<0,
由(2k+1)-k>0得k>-1.
∴当k>-1时, k<x<2k+1,
当k=-1时,不等式无解.
当k<-1时,2k+1<x<k.
∵不等式的解集中含有整数1,
∴不等式的解为k<x<2k+1,
∵不等式的解集中的整数只有1,
∴,∴0<k≤,
又k>-1,∴k的取值范围是(0,].
17[解析] 设原价为1个单位,t=x%,t∈(0,1),
实行方案①后的价格为(1-t)2,
实行方案②后的价格为(1-2t),
(1-t)2-(1-2t)=t2>0,即(1-t)2>(1-2t),
所以方案②降价幅度大.
18[解析] (1)a=0时,原不等式化为x-2<0,∴x<2.∴原不等式解集为{x|x<2}.
(2)当a<0时,原不等式化为(x-2)·(x-)<0.方程(x-2)(x-)=0的两根为2,,又2>,∴原不等式解集为{x|<x<2}.
(3)当a>0时,原不等式化为(x-2)·(x-)>0.方程(x-2)(x-)=0的两根为2,.
当0<a<1时>2,原不等式的解集为
{x|x>或x<2}.
当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解集为{x∈R|x≠2}.
当a>1时,2>>0,原不等式解集为
{x|x>2或x<}.
综上所述,不等式解集为:a=0时,{x∈R|x<2};a=1时,{x∈R|x≠2};a<0时,{x|<x<2};0<a<1时,{x|x>或x<2};a>1时,{x|x>2或x<}.
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