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2020-2021学年第5章 二次函数5.5 用二次函数解决问题课时作业
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这是一份2020-2021学年第5章 二次函数5.5 用二次函数解决问题课时作业，共33页。试卷主要包含了5用二次函数解决实际问题提优等内容，欢迎下载使用。
5.5用二次函数解决实际问题提优
一、单选题
1.如图，一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数 C. 没有实数根 D. 以上结论都正确
2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- 112 (x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
A. 3m B. 4m C. 8m D. 10m
3.函数y=a x2 ＋c与y=-ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）
A. B.
C. D.
4.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，有下列结论：① b2−4ac>0 ；② abc>0 ；③ 4a−2b+c>0 ；④ 3a+c<0 ．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知函数y=x-12-1x≤3x-52-x>3 ， 则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1 ， x2 ， 而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1 ， x2 ， x3的关系是（ ）
A. x3＝x1＋x2. B. x3＝ 1x1 ＋ 1x2 . C. x1x2＝x2x3＋x3x1. D. x1x3＝x2x3＋x1x2.
7.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，下列结论：① abc>0 ；② 2a+b<0 ；③ 4a−2b+c<0 ；④ b2−4ac<0 ，其中符合题意结论的个数为（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
8.如图，二次函数y=﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m=2时，△MCE周长的最小值为2 10 ；④图象上有两点P（x1 ， y1）和Q（x2 ， y2），若x1＜1＜x2 ， 且x1+x2＞2，则y1＞y2 ， 其中真命题的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.二次函数 y=(m+1)x2−2mx+m−2 的图象与x轴有两个交点 (x1,0) 和 (x2,0) ，下列说法：①该函数图象过点 (1,−1) ；②当 m=0 时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是 22 ；③若该函数的图象开口向下，则m的取值范围为 −20 ，且 −2⩽x⩽−1 时，y的最大值为 (9m+2) ．正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题
11.飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数的解析式是 s=60t−1.5t2 ，飞机着陆后滑行时间为 秒才能停下来．
12.如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(−3,4) ， B(2,1) ，则方程 ax2=bx+c 的解是________.
13.如图，抛物线 y=12x2+12x−3 与 x 轴的负半轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，连接 AB ，点 D,E 分别是直线 x=−1 与抛物线上的点，若点 A,B,D,E 围成的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为________.
14.汽车刹车后行驶的距离 s (单位： m )关于行驶的时间 t (单位： s )的函数解析式是 s=12t−6t2 ．汽车刹车后到停下来前进了 m ________．
15.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当 x=2 时， y=5 ； ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.
其中正确的结论是 （填正确结论的序号）.
16.在平面直角坐标系xOy中，设点P的坐标为（n－1，3n＋2），点Q是抛物线y=－x2＋x＋1上一点，则P，Q两点间距离的最小值为 .
17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2 交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为________.
18.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，以下结论:① abc>0 ;② 4ac0 ;④其顶点坐标为 (12,−2) ;⑤当 x<0 时， y 随 x 的增大而减小;⑥ a+b+c>0 中，正确的有________(只填序号)
三、解答题
19.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=－10x＋500．
⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
⑵设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
20.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?
（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．
（3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？
21.已知抛物线 y=a(x−1)2+3a ，其顶点为 E ，与 y 轴交于点 D(0,4) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 l ： y=−13x+8 与抛物线第一象限交于点 B ，交 y 轴于点 A ，求 ∠ABD−∠DBE 的值；
（3）若有两个定点 F(1,134) ， A(0,8) ，请在抛物线上找一点 K ，使得 △KFA 的周长最小，并求出周长的最小值．
22.抛物线y＝﹣x2+bx+c（b ， c为常数）与x轴交于点（x1 ， 0）和（x2 ， 0），与y轴交于点A ， 点E为抛物线顶点．
（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E ， 点A的坐标；
（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；
②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．
23.如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．
（1）求D点坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M．是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．
25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC ， 且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ ， 过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M ． 设点P运动的时间为t（秒）
（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；
（2）求当点Q落在BC边上时t的值；
（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；
（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．
26.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点A，点B的坐标为（2，3）抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式，并验证点B是否在抛物线上；
（2）作BD⊥OC，垂足为D，连接AB，E为y轴左侧抛物线点，当△EAB与△EBD的面积相等时，求点E的坐标；
（3）点P在直线AC上，点Q在抛物线y=﹣x2+bx+c上，是否存在P、Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，以OA为直径的半圆，圆心为B ， 半径为1．过y轴上点C（0，2）作直线CD与⊙B相切于点E ， 交x轴于点D ． 二次函数y=ax2－2ax+c的图象过点C和D交x轴另一点为F点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）连接OE ， 如图2，求sin∠AOE的值；
（3）如图3，若直线CD与抛物线对称轴交于点Q ， M是线段OC上一动点，过M作MN//CD交x轴于N ， 连接QM ， QN ， 设CM=t ， △QMN的面积为S ， 求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．S是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
28.已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0 ， 当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1 ， E的对应点为E1 ， 设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把y=-x代入y=ax2+bx+c得ax2+(b+1)x+c=0，因为一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，所以方程ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故答案为：A.
【分析】由题意把y=-x代入二次函数的解析式整理得：ax2+(b+1)x+c=0，所以要判断方程的根的情况，只需观察两个函数图像的交点的个数即可求解。
2.【答案】 D
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意得，当y=0时，
−112(x−4)2+3=0 ，
解得： x1=10 ， x2=−2 （舍去）
故选D.
【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x的值即可得到成绩.
3.【答案】 C
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】A、由函数y＝-ax＋c的图象可得：a>0，c＞0由二次函数y＝ax2＋c的图象可得：a＞0，c＞0，函数y＝-ax＋b与y＝ax2＋c的与坐标轴的交点是同一点，不符合题意；
B、由函数y＝-ax＋c的图象可得：a<0，c＞0由二次函数y＝ax2＋c的图象可得：a＞0，c＞0，函数y＝-ax＋b与y＝ax2＋c的与坐标轴的交点是同一点，不符合题意；
C、由函数y＝-ax＋c的图象可得：a<0，c＜0由二次函数y＝ax2＋c图象可得：a＜0，c＜0，函数y＝-ax＋b与y＝ax2＋c的与坐标轴的交点是同一点，符合题意；
D、由函数y＝-ax＋c的图象可得：a>0，c＜0由二次函数y＝ax2＋c的图象可得：a＜0，c＜0，函数y＝-ax＋b与y＝ax2＋c的与坐标轴的交点是同一点，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】可先根据函数y＝ax＋c的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
4.【答案】 D
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2-4ac＞0，故①符合题意；
抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x=1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②符合题意；
由图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③符合题意；
∵对称轴x=- b2a =1
∴-b=2a
当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即 3a+c<0 ，故④符合题意；
综上所述，符合题意结论有：①②③④
故答案为：D．
【分析】先根据二次函数的图象与其系数的关系求出a、b、c的正负，再利用二次函数性质及二次函数与一元二次方程的关系逐项判断即可。
5.【答案】 D
【考点】分段函数，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】y=k与每个抛物线有两个交点，在临界x=3时两个交点重合，所以共有三个交点，当x=3时得到y=3 所以k=3
故选择：D
【点评】分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。
6.【答案】 C
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由题意得 x1 和 x2 为方程 kx+b=ax2 的两个根，即 ax2−kx−b=0 ，
∴x1+x2=ka ， x1x2=−ba ；
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=ka−ba=−kb ；
∵ 直线与 x 轴交点的横坐标为： x3=−bk ，
∴1x3=1x1+1x2 .
∴x1x2=x2x3+x3x1 .
故答案为： C .
【分析】将直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再求出直线解析式求出与x轴的交点横坐标，进行比较即可得出答案。即可得出答案．
7.【答案】 C
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵x=- b2a ＞0，
∴b＞0，
∵图象与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意；
∵抛物线的对称轴x=- b2a ＜1，a＜0，
∴b＜-2a，
∴2a+b＜0，故②符合题意；
∵当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，故③符合题意；
∵图象和x轴交于两点，
∴b2-4ac＞0，故④不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据图象的开口可确定a。再结合对称轴，可确定b，根据图象与y轴的交点位置，可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定．
8.【答案】 A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，轴对称的应用-最短距离问题，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①当a≤x≤b时，y≤0．故①错误．
② b−2a = 2−2×(−1) =1，
∴当a=﹣1时，b=3，故②错误．
③当m=2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，
∴E′（2，﹣3），
∴CE′=2 10 ，
∴△MCE的周长的最小值为2 10 +2，故③错误．
④设x1关于对称轴的对称点x1′，
∴x1′=2﹣x1 ，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞x1′，
∵x1＜1＜x2 ，
∴x1＜1＜x1′＜x2 ，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y2＜y1 ， ∴④正确．
故选A．
【分析】①错误．由图象可知当a≤x≤b时，y≤0．②错误．当a=﹣1时，b=3③错误．△MCE的周长的最小值为2 10 +2．④正确．设x1关于对称轴的对称点x1′，由题意推出x1＜1＜x1′＜x2 ， 因为函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，所以y2＜y1 ．
9.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①不符合题意；
∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②符合题意；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
10.【答案】 D
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，y=（m+1）x2-2mx+m-2=-1，符合题意；
②当m=0时，y=x²-2，与x轴的交点为 x=0±0−4×(−2)2 ，则 x1=2,x2=−2 ，与y轴的交点y值为：y=-2，∴ S△=12×[2−(−2)]×|−2|=22 ，故②符合题意；
③该函数图象开口向下，且与x轴有两个交点，故m+1＜0，△=（-2m）2-4（m+1）（m-2）＞0，解得：-2＜m＜-1，故③符合题意；
④函数的对称轴为 −b2a=mm+1 ，当m>0时， −b2a>0 ，故函数在x=-2时，取得最大值，当x=-2时，y=(m+1)x²-2mx+m-2=9m+2，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数 y=(m+1)x2−2mx+m−2 的图象与x轴有两个交点 (x1,0) 和 (x2,0) ， 对每个说法一一判断求解即可。
二、填空题
11.【答案】 20
【考点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】 s=60t−1.5t2=−1.5(t−20)2+600 ，
∵−1.5<0 ，
∴s 有最大值，
当 t=20 时， s 最大为600．
故答案为：20．
【分析】将二次函数解析式配方得出s=60t−1.5t2=−1.5(t−20)2+600 ， 由二次项系数为负数知此函数有最大值，求出最大值即可得出结论。
12.【答案】 x1=−3 ， x2=2
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），
∴方程组 {y=ax2y=bx+c 的解为 {x1=−3y1=4,{x2=2y2=1
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-3，x2=2.
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-3，x2=2
故答案为： x1=−3 ， x2=2
【分析】将点A，B的坐标分别代入两函数解析式，可求出两函数解析式，再将两函数联立方程组，求出两函数的交点坐标，即可得到关于x的方程ax2-bx-c=0的解。
13.【答案】 (−4,3) 或 (2,0) 或 (−2,−2)
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，二次函数的其他应用
【解析】【解答】由抛物线的表达式求得点 A,B 的坐标分别为 (−3,0),(0,−3) .
由题意知当 AB 为平行四边形的边时， AB//DE ，且 AB=DE ，
∴线段 DE 可由线段 AB 平移得到.
∵点 D 在直线 x=−1 上，①当点 B 的对应点为 D1 时，如图，需先将 AB 向左平移1个单位长度，
此时点 A 的对应点 E1 的横坐标为 −4 ，将 x=−4 代入 y=12x2+12x−3 ，
得 y=3 ，∴ E1(−4,3) .
②当点A的对应点为 D2 时，同理，先将 AB 向右平移2个单位长度，可得点 B 的对应点 E2 的横坐标为2，
将 x=2 代入 y=12x2+12x−3 得 y=0 ，∴ E2(2,0)
当 AB 为平行四边形的对角线时，可知 AB 的中点坐标为 (−12,−32) ，
∵ D3 在直线 x=−1 上，
∴根据对称性可知 E3 的横坐标为 −2 ，将 x=−2 代入 y=12x2+12x−3
得 y=−2 ，∴ E3(−2,−2) .
综上所述，点 E 的坐标为 (−4,3) 或 (2,0) 或 (−2,−2) .
【分析】根据二次函数 y=12x2+12x−3 与x轴的负半轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B .直接令x=0和y=0求出A，B的坐标.再根据平行四边形的性质分情况求出点E的坐标.
14.【答案】 6
【考点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式 s=12t−6t2 =-6(t²-2t+1-1)=-6(t-1) ²+6
可知，汽车的刹车时间为t=1s，
当t=1时， s=12t−6t2 =12×1-6×1²=6(m)
故答案为：6
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值.
15.【答案】 ①③④
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴ {a−b+c＝−1c＝3a+b+c＝5 ， 解得 {a＝−1b＝3c＝3 ，
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确； 对称轴为直线x=- 32×（−1）=32 ， 所以，当x＞ 32 时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； 当x=2时，y=-4+4+3=3；故③正确.方程为-x2+2x+3=0， 整理得，x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3， 所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故④正确. 综上所述，结论正确的是①③④．
【分析】由表中数据对应的点坐标，由（0,3）、（3,3）可得出c=3>0，对称轴为直线x=1.5,从0~1,y的值随x值的增大而增大，可知开口向下，a<0,(2,5)、（1,5）是对称点，因此x = 2 时， y = 5正确， ax2+（b﹣1）x+c=0可变形为 ax2+bx+c=x,此方程的解相当于抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x的交点横坐标，由表知(3,3)在y=x上，也在抛物线上，因此3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.
16.【答案】 31010
【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（n－1，3n＋2），
∴设x= n－1，y=3n＋2，
∴y=3x+5，即：点P在直线y=3x+5上，
设与直线y=3x+5平行的直线为：y=3x+b，
当直线y=3x+b与抛物线y=－x2＋x＋1相切时，
则3x+b=－x2＋x＋1，即：x2+2x+b-1=0，
∴∆= 22−4×1×(b−1)=0 ，解得：b=2，
∴与直线y=3x+5平行且和抛物线相切的直线为：y=3x+2，此时，直线y=3x+5与直线y=3x+2的距离就是P，Q两点间距离的最小值.
设直线y=3x+5与y轴的交点为C，直线y=3x+2与x，y轴的交点分别为F，E，如图所示，则C(0，5)，E(0，2)，F( −23 ，0)，
∴CE=3，OE=2，OF= 23 ，EF= OE2+OF2=2310 ，
过点C作CD⊥EF于点D，
∵∠CDE=∠FOE=90°，∠CED=∠FEO，
∴∆CDE~∆FOE，
∴ CDFO=CEFE ，即 CD23=32310 ，解得：CD= 31010 ，
∴P，Q两点间距离的最小值为 31010 .
故答案是： 31010 .
【分析】先求出点P所在直线的解析式，再求出与点P所在直线平行的直线解析式，然后求出这两条直线间的距离，即可求解.
17.【答案】 －2≤m< −32 或 12
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2交于C，D两点，联立解方程：
{y=x2−2mx−2m−2y=−x−2
(x−2m)(x+1)=0
解得： x1=−1,x2=2m
∴抛物线与直线交点的横坐标为： −1,2m
又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数
∴得出在C、D之间恰有两个整数解
当 2m>−1 即 m>−12 时得出： 1<2m≤2 解得： 12
故答案为： −2≤m<−32 或 12
18.【答案】 ①②③⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①根据图象可知：
a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0．
∴①符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b2-4ac＞0，
4ac＜b2 ．
∴②符合题意；
③∵抛物线的对称轴x＜1，
即 −b2a<1 ，得2a+b＞0．
∴③符合题意；
④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），
∴抛物线的顶点的纵坐标不能为-2．
∴④不符合题意；
⑤根据抛物线的性质可知：
当x＜0时，y随x的增大而减小；
∴⑤符合题意；
⑥当x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0．
∴⑥不符合题意．
故答案为①②③⑤．
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x=1时y的值即可判断．
三、解答题
19.【答案】 解：⑴当x=20时，y=－10x＋500=－10×20+500=300，
300×(12－10)=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
⑵依题意得，W=(x－10)(－10x+500)=－10x2+600x－5000=－10(x－30)2+4000
∵a=－10＜0，∴当x=30时，W有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
⑶由题意得：－10x2＋600x－5000=3000，解得：x1=20，x2=40．
∵a=－10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，W≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，W≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=(12－10)×(－10x+500)
=－20x＋1000．
∵k=－20＜0．
∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【考点】二次函数的实际应用-销售问题，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y=3000代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
20.【答案】 解：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.
所以：这种手机平均每天的销售利润为：16×（2800-2500）=4800（元）；
（2）根据题意,得y=(2900-2500-x)(8+4×x50),
即y=-225x2+24x+3200；
（3）对于y=-225x2+24x+3200,
当x=-242×-225=150时,
y最大值=（2900-2500-150）（8+4×15050）=5000（元）
2900-150=2750（元）
所以,每台手机降价2750元时,商场每天销售这种手机的利润最大,最大利润是5000元．
【考点】二次函数的最值，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.即可求出每天利润；
（2）根据：利润=（每台实际售价﹣每台进价）×销售量,每台实际售价=2900﹣x,销售量=8+4×x50,列函数关系式；
（3）利用二次函数的顶点坐标公式,求函数的最大值．
21.【答案】 （1）y=(x−1)2+3
（2）45°；提示：过点 B 作 BQ⊥y 轴，垂足为 Q ，证 △ABQ∼△EBD ， BD 的斜率为 ∠ABD−∠DBE=∠DBQ=45°
（3）21+3774 ；提示：（焦点准线问题）作直线 y=114 ，证明点 K 到直线 y=114 的距离等于 KF ，点 A 到直线 y=114 的距离为 214 ，故三角形 AKF 的周长的最小值为 AF+214=21+3774 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）将D点（0，4）代入抛物线解析式求解即可；
（2）由中点坐标公式可得：点E（-1，5），则∠HBD=∠EBD ， 则∠ABH=∠ABD-∠DBE ， 进而求解；
（3）设点K（x，y），则KF2=（x-1）2+（y-134）2 ， 则KF=y-114 ， 即KF=HK，进而求解。
22.【答案】 解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c（b，c为常数）与x轴交于点（x1 ， 0）和（x2 ， 0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上，
∴ {1−b+c=0−9+3b+c=0 ，解得 {b=2c=3 ，
∴y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，
∴点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；
（Ⅱ）①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝ −(x−b2)2+b2+4c4 ，
∴点E的坐标为（ b2 ， b2+4c4 ），
∵顶点E在直线y＝x上，
∴ b2 ＝ b2+4c4 ，
∴c＝ 2b−b24 ；
②由①知， c=2b−b24=−14b2+12b=−14(b−1)2+14 ，
则点A的坐标为（0， −14(b−1)2+14 ），
∴当b＝1时，此时点A的位置最高，函数y＝﹣x2＋x＋ 14 ，
即在①的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是 y=−x2+x+14 ；
（Ⅲ）∵x1＝﹣1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点（x1 ， 0），
∴﹣1﹣b＋c＝0，
∴c＝1＋b，
∵点E的坐标为（ b2 ， b2+4c4 ），点A的坐标为（0，c），
∴E（ b2 ， (b+2)24 ），A（0，b＋1），
∴点E关于x轴的对称点E′（ b2 ，﹣ (b+2)24 ），
设过点A（0，b＋1）、P（1，0）的直线解析式为y＝kx＋t，
{t=b+1k+t=0 ，得 {k=−b−1t=b+1 ，
∴直线AP的解析式为y＝（﹣b﹣1）x＋（b＋1）＝﹣（b＋1）x＋（b＋1）＝（b＋1）（﹣x＋1），
∵当直线AP过点E′时，PA＋PE值最小，
∴﹣ (b+2)24 ＝（b＋1）（﹣ b2 ＋1），
化简得：b2﹣6b﹣8＝0，
解得：b1＝ 3+17 ，b2＝ 3−17
∵b＞0，
∴b＝ 3+17 ，
即b的值是3＋ 17 ．
【考点】二次函数-动态几何问题，二次函数图象与一元二次方程的综合应用，二次函数的其他应用
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上， 再利用待定系数法计算求解即可；
（Ⅱ）①先求出点E的坐标为（ b2 ， b2+4c4 ）， 再求出 b2 ＝ b2+4c4 ， 最后求解即可；
②先求出点A的坐标，再计算求解即可；
（Ⅲ）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求直线AP的解析式，最后计算求解即可。
23.【答案】 解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，如图（1）．由翻折可知：DO=AO=3，∠AOB=∠BOD=30°，∴∠DOE=30°．∴DE=32在Rt△COD中，由勾股定理，得OE=332∴D（332 ， 32）（2）在Rt△AOB中，AB=AO•tan30°=3×33=32 ， ∴B（32 ， 3）．∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B（32 ， 3），D（332 ， 32）两点，∴3a+3b+3=3274a+332b+3=32解得a=-23b=233∴此抛物线表达式为y=﹣23x2+233x+3．（3）存在符合条件的点P，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2）．∵E为抛物线y=﹣23x2+233x+3的顶点，∴E（32 ， 32）．设OB所在直线的表达式为y=kx，将点B（3 ， 3）代入，得k=3 ， ∴y=3x．∵P在射线OB上，∴P（x，3x），F（32 ， 32）．则H（x，72）G（x，32）．∵M在抛物线上，M（x，﹣23x2+233+3）．要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM．3x﹣72=32﹣（﹣23x2+233x+3），即﹣23x2+233x+3+3x=5．解得x1=23 ， x2=32 ． ∴P1点坐标为（23 ， 6），P2点坐标为（32 ， 32）与F重合，应舍去．∴P点坐标为（23 ， 6）．
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点D作DC⊥x轴于点E，如图（1），由轴对称得出OD=3，∠DOE=30°，故可以求出DE的值，由勾股定理就可以求出OE的值，从而可以求出D的坐标．
（2）通过解直角三角形AOB求出AB的值，求出点B的坐标，再将B、D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式．
（3）利用（2）的解析式，求出E点的坐标，利用待定系数法求出直线OB的解析式，从而求出F的坐标，从而求出EF，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2），由题意可得PH=GM从而求出点P的坐标．
24.【答案】 （1）解：∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，
解得x=3或﹣1，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）解：①如右图．
∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，﹣3）．
∵对称轴为直线x=1，
∴点E的坐标为（1，0）．
连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD= 2 ，CB=3 2 ，△BCD为直角三角形．
分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴ OCOQ = CDCB = 13 ，
∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．
∴直线CQ的解析式为y=﹣ 13 x﹣3，
直线BD的解析式为y=2x﹣6．
由方程组 {y=-13x-3y=2x-6 ，解得 {x=97y=-247 ．
∴点P的坐标为（ 97 ，﹣ 247 ）；
②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．
若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴ CNMN=BEDE=12 ，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF= 2 a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG= 322 a，
∴CG=FG﹣FC= 22 a，
∴M（ 322 a，﹣3+ 22 a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a= 729 ，
∴M（ 73 ，﹣ 209 ）；
若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴ CNMN = BEDE = 12 ，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF= 2 a，
∴MF=MN﹣NF=a，
∴MG=FG= 22 a，
∴CG=FG+FC= 322 a，
∴M（ 22 a，﹣3+ 322 a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5 2 ，
∴M（5，12）；
（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，
∴点M不存在．
综上可知，点M坐标为（ 73 ，﹣ 209 ）或（5，12）．
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）已知解析式，依据题意求出点的坐标即可。
（2）依据一元二次函数的性质解答。
25.【答案】 （1）解：如图1中， 在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°， ∴AB＝ AC2+BC2=162+122=20 ，
∵PQ∥AC，
∴∠A＝∠QPM，
∵∠C＝∠PMQ＝90°，
∴△ACB∽△PMQ，
∴ ACPM=BCMQ=ABPQ , ∴ 16PM=12MQ=205t , ∴PM＝4t，MQ＝3t，
当0＜t≤ 109 时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．
当 109 ＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．
（2）解：如图2中， 当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC， ∴ PQAC=PBAB , ∴ 5t16=20−5t20 ， 解得t＝ 169 ，
∴当点Q落在BC边上时t的值为 169 s．
（3）解：如图3﹣1中，当 109 ＜t≤ 8245 时，重叠部分是△DMK，S＝ 12 ×DM×MK＝ 12 ×（9t﹣10）× 34 （9t﹣10）＝ 2438 t2﹣ 1352 t+ 752 ．
如图3﹣2中，当 209 ≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝ 12 •PK•BK＝ 12 × 45 （20﹣5t）• 35 （20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．
（4）解：如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K． ∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG， ∴△QGK≌△QGM（AAS），
∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，
∴PG＝ 54 PK＝ 52 t，
∵PQ∥AC，
∴ PQAC=PGGA ， ∴ 5t16=52t5t+52t ，
∴t＝ 1615 ．
如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．
∵ 12 •AC•BC＝ 12 •AB•CG，
∴CG＝ AC·BCAB=16×1220=485 ，AG＝ AC2−CG2=162−(485)2=645 ，
∵∠CMG＝∠GCM＝45°，
∴CG＝GM＝ 485 ，
∴AM＝9t＝ 645+485 ，
解得t＝ 11245 ，
综上所述，满足条件的t的值为 1615 s或 11245 s．
【考点】三角形全等及其性质，角平分线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质，二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）分点M在线段AD上或点M在线段AD的延长线时两种情形分别求解．（2）当点Q落在BC上时，由PQ∥AC ， 可得 PQAC=PBAB ，由此构建方程即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3-1中，当 109 ＜t≤ 8245 时，重叠部分是△DMK ． ②如图3-2中，当 209 ≤t≤4时，重叠部分是△PBK ， 分别求解．（4）分两种情形：①如图4-1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G ， 作GK⊥PQ于K ． 利用全等三角形的性质，平行线分线段成比例定理，构建方程即可．②如图4-2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G ． 求出AM的长，构建方程即可解决问题．
26.【答案】 解：（1）在y=﹣x+3中，
令x=0，得y=3；令y=0，得x=3，
∴A（0，3），C（3，0）．
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴c=3-9+3b+c=0 ，
解得b=2c=3 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
当x=2时，y=﹣22+2×2+3=3，
∴点B（2，3）在抛物线上；
（2）∵A（0，3），B（2，3），
∴AO=BD=3，
∵AO⊥OC，BD⊥OC，
∴AO∥BD，
∴四边形AODB是平行四边形，
∵∠AOD=90°，
∴平行四边形AODB是矩形，
∴AB⊥AO．
设E（x，﹣x2+2x+3），
则S△EAB=12AB•[3﹣（﹣x2+2x+3）]=x2﹣2x，
S△EBD=12BD•（2﹣x）=32（2﹣x），
∵S△EAB=S△EBD ，
∴x2﹣2x=32（2﹣x），
解得x1=﹣32 ， x2=2（舍去），
∴点E的坐标为（﹣32 ， ﹣94）；
（3）存在P、Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．理由如下：
设点P的坐标为（x，﹣x+3），分两种情况：
①当AB为边时；
Ⅰ）如果四边形BAPQ为平行四边形，那么PQ∥AB∥x轴，且PQ=AB=2，
∴Q点坐标为（x+2，﹣x+3），
∵Q点在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴﹣x+3=﹣（x+2）2+2（x+2）+3，
整理得x2+x=0，
解得x1=﹣1，x2=0（舍去），
∴点P的坐标为（﹣1，4）；
Ⅱ）如果四边形BAQP为平行四边形，那么PQ∥AB∥x轴，且PQ=AB=2，
∴Q点坐标为（x﹣2，﹣x+3），
∵Q点在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴﹣x+3=﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）+3，
整理得x2﹣7x+8=0，
解得x1=7+172 ， x2=7-172 ，
∴点P的坐标为（7+172 ， ﹣7+172）或（7-172 ， 7-172）；
②当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，
∵A（0，3），B（2，3），
∴AB中点坐标为（1，3），
∵点P的坐标为（x，﹣x+3），
∴点Q的坐标为（2﹣x，x+3），
∵Q点在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴x+3=﹣（2﹣x）2+2（2﹣x）+3，
整理得x2﹣x=0，
解得x1=1，x2=0（舍去），
∴点P的坐标为（1，2）；
综上所述，符合条件的点P坐标为（﹣1，4）或（7+172 ， ﹣7+172）或（7-172 ， 7-172）或（1，2）．
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出直线y=﹣x+3与x轴交点C，与y轴交点A的坐标，再将A、C两点坐标代入y=﹣x2+bx+c，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将x=2代入，计算y的值，即可判断点B（2，3）是否在抛物线上；
（2）先由一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形AODB是矩形，则AB⊥AO．再设E（x，﹣x2+2x+3），根据三角形的面积公式得出S△EAB=12AB•[3﹣（﹣x2+2x+3）]=x2﹣2x，S△EBD=12BD•（2﹣x）=32（2﹣x），由S△EAB=S△EBD ， 列出方程x2﹣2x=32（2﹣x），解方程即可求出点E的坐标；
（3）设点P的坐标为（x，﹣x+3），以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，可分两种情况进行讨论：①当AB为边时；又分四边形BAPQ为平行四边形和四边形BAQP为平行四边形两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等用含x的代数式表示出Q点坐标，再将Q点坐标代入y=﹣x2+2x+3，列出方程，解方程求出点P的坐标；②当AB为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分得到Q点坐标，再将Q点坐标代入y=﹣x2+2x+3，列出方程，解方程求出点P的坐标．
27.【答案】 （1）证明：连接BE
∵CD与⊙B相切于点E∴BE⊥CD
设点D的坐标为（x，0），则BD=x－1
在△OCD和△EBD中，{∠COD=∠BED∠CDO=∠EDB ∴△OCD∽△EBD
∴ OCEB=CDBD即 21=CDx−1 ∴CD=2x－2 在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2即22+x2=（2x－2）2解得x1= 83 ，x2=0（舍去）
即点D的坐标为（ 83 ，0）
把C（0，2），D（ 83 ，0）代入y=ax2－2ax+c中得:
函数解析式为：y= −98 x2+ 94 x+2
（2）解：连接BE，CB，CB交OE于H∵CD与⊙O相切于E，CO⊥OB于O，BO为⊙O半径
∴CO与⊙O相切于O
∴BC⊥OE于点H ∴∠OCH+∠COH=∠BOH+∠COH=90°，
∴∠BOH=∠COH
即∠AOE=∠OCB ∴sin∠AOE= sin∠OCB= OBCB
在Rt△OCB中，∵OB=1，OC=2 由勾股定理得 BC=OB2+OC2 = 5
∴ sin∠AOE=15=55
（3）存在，理由如下： 连接DM，据题意有CM=t，OC=2，OD= 83 ，则OM=2-t∵MN//CD ∴∠ONM=∠ODC且S△QMN=S△DMN
∴tan∠ONM=tan∠ODC
∴ 2−tON=OCOD=283 ∴ON= 83−43t ∴ ND=83−(83−43t)=43t
∵S=S△QMN=S△DMN= 12ND·OM ∴S= 12×43t(2−t)=−23(t−1)2+23
∵点M在OC上运动 ∴ 0
∴当t=1时，S有最大值， 为23
【考点】二次函数的应用，平行线的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出BE⊥CD，设点D的坐标为（x ， 0），则BD=x－1，然后证出△OCD∽△EBD ，根据相似三角形对应边成比例得出OC∶EB=CD∶BD,即2∶1=CD∶x-1,从而得出CD=2x－2 ，在Rt△OCD中，根据勾股定理列出关于x的方程，求解得出x的值，得出D点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）连接BE ， CB ， CB交OE于H，根据切线的判定定理判断出CO与⊙O相切于O，根据切线长定理得出BC⊥OE于点H ，根据同角的余角相等得出 ∠BOH=∠COH，即∠AOE=∠OCB，根据等角的同名三角函数值相等得出sin∠AOE= sin∠OCB= O B ∶C B ，在Rt△OCB中，由勾股定理得出BC的长度，从而得出答案；
（3）连接DM ， 据题意有CM=t，OC=2，OD= 83 ， 则OM=2-t；根据二直线平行同位角相等得出∠ONM=∠ODC，同时两平行线间的距离相等，根据同底等高得出S△QMN=S△DMN ， 再根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ONM=tan∠ODC，根据三角函数的定义，从而列出方程，表示出ON的长度，进而表示出ND，根据S=S△QMN=S△DMN= 12 N D · O M，从而得出s与t之间的函数关系式；根据点M在OC上运动 故 0 < t < 2 ，S与t成二次函数关系中二次项的系数 − 23< 0，从而得出答案当t=1时，S有最大值， S 最 大 值 = 23。
28.【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=33 ， DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+33+3=9+33 ．
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．
∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，
∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，
∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．
∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，
∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；
易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423 ．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=32r20≤t≤1.5-36t2+23t-3321.5
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），
则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，
即∠BCB1=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，
若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），
∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，
即∠BCB1=75°，
∴α=75°．
【考点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】考查二次函数有关的动态几何问题。
5.5用二次函数解决实际问题提优
一、单选题
1.如图，一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数 C. 没有实数根 D. 以上结论都正确
2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- 112 (x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
A. 3m B. 4m C. 8m D. 10m
3.函数y=a x2 ＋c与y=-ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）
A. B.
C. D.
4.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，有下列结论：① b2−4ac>0 ；② abc>0 ；③ 4a−2b+c>0 ；④ 3a+c<0 ．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知函数y=x-12-1x≤3x-52-x>3 ， 则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1 ， x2 ， 而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1 ， x2 ， x3的关系是（ ）
A. x3＝x1＋x2. B. x3＝ 1x1 ＋ 1x2 . C. x1x2＝x2x3＋x3x1. D. x1x3＝x2x3＋x1x2.
7.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，下列结论：① abc>0 ；② 2a+b<0 ；③ 4a−2b+c<0 ；④ b2−4ac<0 ，其中符合题意结论的个数为（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
8.如图，二次函数y=﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m=2时，△MCE周长的最小值为2 10 ；④图象上有两点P（x1 ， y1）和Q（x2 ， y2），若x1＜1＜x2 ， 且x1+x2＞2，则y1＞y2 ， 其中真命题的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.二次函数 y=(m+1)x2−2mx+m−2 的图象与x轴有两个交点 (x1,0) 和 (x2,0) ，下列说法：①该函数图象过点 (1,−1) ；②当 m=0 时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是 22 ；③若该函数的图象开口向下，则m的取值范围为 −2
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题
11.飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数的解析式是 s=60t−1.5t2 ，飞机着陆后滑行时间为 秒才能停下来．
12.如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(−3,4) ， B(2,1) ，则方程 ax2=bx+c 的解是________.
13.如图，抛物线 y=12x2+12x−3 与 x 轴的负半轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，连接 AB ，点 D,E 分别是直线 x=−1 与抛物线上的点，若点 A,B,D,E 围成的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为________.
14.汽车刹车后行驶的距离 s (单位： m )关于行驶的时间 t (单位： s )的函数解析式是 s=12t−6t2 ．汽车刹车后到停下来前进了 m ________．
15.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当 x=2 时， y=5 ； ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.
其中正确的结论是 （填正确结论的序号）.
16.在平面直角坐标系xOy中，设点P的坐标为（n－1，3n＋2），点Q是抛物线y=－x2＋x＋1上一点，则P，Q两点间距离的最小值为 .
17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2 交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为________.
18.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，以下结论:① abc>0 ;② 4ac
三、解答题
19.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=－10x＋500．
⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
⑵设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
20.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?
（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．
（3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？
21.已知抛物线 y=a(x−1)2+3a ，其顶点为 E ，与 y 轴交于点 D(0,4) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 l ： y=−13x+8 与抛物线第一象限交于点 B ，交 y 轴于点 A ，求 ∠ABD−∠DBE 的值；
（3）若有两个定点 F(1,134) ， A(0,8) ，请在抛物线上找一点 K ，使得 △KFA 的周长最小，并求出周长的最小值．
22.抛物线y＝﹣x2+bx+c（b ， c为常数）与x轴交于点（x1 ， 0）和（x2 ， 0），与y轴交于点A ， 点E为抛物线顶点．
（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E ， 点A的坐标；
（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；
②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．
23.如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．
（1）求D点坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M．是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．
25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC ， 且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ ， 过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M ． 设点P运动的时间为t（秒）
（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；
（2）求当点Q落在BC边上时t的值；
（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；
（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．
26.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点A，点B的坐标为（2，3）抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式，并验证点B是否在抛物线上；
（2）作BD⊥OC，垂足为D，连接AB，E为y轴左侧抛物线点，当△EAB与△EBD的面积相等时，求点E的坐标；
（3）点P在直线AC上，点Q在抛物线y=﹣x2+bx+c上，是否存在P、Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，以OA为直径的半圆，圆心为B ， 半径为1．过y轴上点C（0，2）作直线CD与⊙B相切于点E ， 交x轴于点D ． 二次函数y=ax2－2ax+c的图象过点C和D交x轴另一点为F点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）连接OE ， 如图2，求sin∠AOE的值；
（3）如图3，若直线CD与抛物线对称轴交于点Q ， M是线段OC上一动点，过M作MN//CD交x轴于N ， 连接QM ， QN ， 设CM=t ， △QMN的面积为S ， 求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．S是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
28.已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0 ， 当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1 ， E的对应点为E1 ， 设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把y=-x代入y=ax2+bx+c得ax2+(b+1)x+c=0，因为一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，所以方程ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故答案为：A.
【分析】由题意把y=-x代入二次函数的解析式整理得：ax2+(b+1)x+c=0，所以要判断方程的根的情况，只需观察两个函数图像的交点的个数即可求解。
2.【答案】 D
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意得，当y=0时，
−112(x−4)2+3=0 ，
解得： x1=10 ， x2=−2 （舍去）
故选D.
【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x的值即可得到成绩.
3.【答案】 C
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】A、由函数y＝-ax＋c的图象可得：a>0，c＞0由二次函数y＝ax2＋c的图象可得：a＞0，c＞0，函数y＝-ax＋b与y＝ax2＋c的与坐标轴的交点是同一点，不符合题意；
B、由函数y＝-ax＋c的图象可得：a<0，c＞0由二次函数y＝ax2＋c的图象可得：a＞0，c＞0，函数y＝-ax＋b与y＝ax2＋c的与坐标轴的交点是同一点，不符合题意；
C、由函数y＝-ax＋c的图象可得：a<0，c＜0由二次函数y＝ax2＋c图象可得：a＜0，c＜0，函数y＝-ax＋b与y＝ax2＋c的与坐标轴的交点是同一点，符合题意；
D、由函数y＝-ax＋c的图象可得：a>0，c＜0由二次函数y＝ax2＋c的图象可得：a＜0，c＜0，函数y＝-ax＋b与y＝ax2＋c的与坐标轴的交点是同一点，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】可先根据函数y＝ax＋c的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
4.【答案】 D
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2-4ac＞0，故①符合题意；
抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x=1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②符合题意；
由图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③符合题意；
∵对称轴x=- b2a =1
∴-b=2a
当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即 3a+c<0 ，故④符合题意；
综上所述，符合题意结论有：①②③④
故答案为：D．
【分析】先根据二次函数的图象与其系数的关系求出a、b、c的正负，再利用二次函数性质及二次函数与一元二次方程的关系逐项判断即可。
5.【答案】 D
【考点】分段函数，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】y=k与每个抛物线有两个交点，在临界x=3时两个交点重合，所以共有三个交点，当x=3时得到y=3 所以k=3
故选择：D
【点评】分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。
6.【答案】 C
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由题意得 x1 和 x2 为方程 kx+b=ax2 的两个根，即 ax2−kx−b=0 ，
∴x1+x2=ka ， x1x2=−ba ；
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=ka−ba=−kb ；
∵ 直线与 x 轴交点的横坐标为： x3=−bk ，
∴1x3=1x1+1x2 .
∴x1x2=x2x3+x3x1 .
故答案为： C .
【分析】将直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再求出直线解析式求出与x轴的交点横坐标，进行比较即可得出答案。即可得出答案．
7.【答案】 C
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵x=- b2a ＞0，
∴b＞0，
∵图象与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意；
∵抛物线的对称轴x=- b2a ＜1，a＜0，
∴b＜-2a，
∴2a+b＜0，故②符合题意；
∵当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，故③符合题意；
∵图象和x轴交于两点，
∴b2-4ac＞0，故④不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据图象的开口可确定a。再结合对称轴，可确定b，根据图象与y轴的交点位置，可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定．
8.【答案】 A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，轴对称的应用-最短距离问题，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①当a≤x≤b时，y≤0．故①错误．
② b−2a = 2−2×(−1) =1，
∴当a=﹣1时，b=3，故②错误．
③当m=2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，
∴E′（2，﹣3），
∴CE′=2 10 ，
∴△MCE的周长的最小值为2 10 +2，故③错误．
④设x1关于对称轴的对称点x1′，
∴x1′=2﹣x1 ，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞x1′，
∵x1＜1＜x2 ，
∴x1＜1＜x1′＜x2 ，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y2＜y1 ， ∴④正确．
故选A．
【分析】①错误．由图象可知当a≤x≤b时，y≤0．②错误．当a=﹣1时，b=3③错误．△MCE的周长的最小值为2 10 +2．④正确．设x1关于对称轴的对称点x1′，由题意推出x1＜1＜x1′＜x2 ， 因为函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，所以y2＜y1 ．
9.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①不符合题意；
∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②符合题意；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
10.【答案】 D
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，y=（m+1）x2-2mx+m-2=-1，符合题意；
②当m=0时，y=x²-2，与x轴的交点为 x=0±0−4×(−2)2 ，则 x1=2,x2=−2 ，与y轴的交点y值为：y=-2，∴ S△=12×[2−(−2)]×|−2|=22 ，故②符合题意；
③该函数图象开口向下，且与x轴有两个交点，故m+1＜0，△=（-2m）2-4（m+1）（m-2）＞0，解得：-2＜m＜-1，故③符合题意；
④函数的对称轴为 −b2a=mm+1 ，当m>0时， −b2a>0 ，故函数在x=-2时，取得最大值，当x=-2时，y=(m+1)x²-2mx+m-2=9m+2，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数 y=(m+1)x2−2mx+m−2 的图象与x轴有两个交点 (x1,0) 和 (x2,0) ， 对每个说法一一判断求解即可。
二、填空题
11.【答案】 20
【考点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】 s=60t−1.5t2=−1.5(t−20)2+600 ，
∵−1.5<0 ，
∴s 有最大值，
当 t=20 时， s 最大为600．
故答案为：20．
【分析】将二次函数解析式配方得出s=60t−1.5t2=−1.5(t−20)2+600 ， 由二次项系数为负数知此函数有最大值，求出最大值即可得出结论。
12.【答案】 x1=−3 ， x2=2
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），
∴方程组 {y=ax2y=bx+c 的解为 {x1=−3y1=4,{x2=2y2=1
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-3，x2=2.
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-3，x2=2
故答案为： x1=−3 ， x2=2
【分析】将点A，B的坐标分别代入两函数解析式，可求出两函数解析式，再将两函数联立方程组，求出两函数的交点坐标，即可得到关于x的方程ax2-bx-c=0的解。
13.【答案】 (−4,3) 或 (2,0) 或 (−2,−2)
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，二次函数的其他应用
【解析】【解答】由抛物线的表达式求得点 A,B 的坐标分别为 (−3,0),(0,−3) .
由题意知当 AB 为平行四边形的边时， AB//DE ，且 AB=DE ，
∴线段 DE 可由线段 AB 平移得到.
∵点 D 在直线 x=−1 上，①当点 B 的对应点为 D1 时，如图，需先将 AB 向左平移1个单位长度，
此时点 A 的对应点 E1 的横坐标为 −4 ，将 x=−4 代入 y=12x2+12x−3 ，
得 y=3 ，∴ E1(−4,3) .
②当点A的对应点为 D2 时，同理，先将 AB 向右平移2个单位长度，可得点 B 的对应点 E2 的横坐标为2，
将 x=2 代入 y=12x2+12x−3 得 y=0 ，∴ E2(2,0)
当 AB 为平行四边形的对角线时，可知 AB 的中点坐标为 (−12,−32) ，
∵ D3 在直线 x=−1 上，
∴根据对称性可知 E3 的横坐标为 −2 ，将 x=−2 代入 y=12x2+12x−3
得 y=−2 ，∴ E3(−2,−2) .
综上所述，点 E 的坐标为 (−4,3) 或 (2,0) 或 (−2,−2) .
【分析】根据二次函数 y=12x2+12x−3 与x轴的负半轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B .直接令x=0和y=0求出A，B的坐标.再根据平行四边形的性质分情况求出点E的坐标.
14.【答案】 6
【考点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式 s=12t−6t2 =-6(t²-2t+1-1)=-6(t-1) ²+6
可知，汽车的刹车时间为t=1s，
当t=1时， s=12t−6t2 =12×1-6×1²=6(m)
故答案为：6
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值.
15.【答案】 ①③④
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴ {a−b+c＝−1c＝3a+b+c＝5 ， 解得 {a＝−1b＝3c＝3 ，
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确； 对称轴为直线x=- 32×（−1）=32 ， 所以，当x＞ 32 时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； 当x=2时，y=-4+4+3=3；故③正确.方程为-x2+2x+3=0， 整理得，x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3， 所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故④正确. 综上所述，结论正确的是①③④．
【分析】由表中数据对应的点坐标，由（0,3）、（3,3）可得出c=3>0，对称轴为直线x=1.5,从0~1,y的值随x值的增大而增大，可知开口向下，a<0,(2,5)、（1,5）是对称点，因此x = 2 时， y = 5正确， ax2+（b﹣1）x+c=0可变形为 ax2+bx+c=x,此方程的解相当于抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x的交点横坐标，由表知(3,3)在y=x上，也在抛物线上，因此3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.
16.【答案】 31010
【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（n－1，3n＋2），
∴设x= n－1，y=3n＋2，
∴y=3x+5，即：点P在直线y=3x+5上，
设与直线y=3x+5平行的直线为：y=3x+b，
当直线y=3x+b与抛物线y=－x2＋x＋1相切时，
则3x+b=－x2＋x＋1，即：x2+2x+b-1=0，
∴∆= 22−4×1×(b−1)=0 ，解得：b=2，
∴与直线y=3x+5平行且和抛物线相切的直线为：y=3x+2，此时，直线y=3x+5与直线y=3x+2的距离就是P，Q两点间距离的最小值.
设直线y=3x+5与y轴的交点为C，直线y=3x+2与x，y轴的交点分别为F，E，如图所示，则C(0，5)，E(0，2)，F( −23 ，0)，
∴CE=3，OE=2，OF= 23 ，EF= OE2+OF2=2310 ，
过点C作CD⊥EF于点D，
∵∠CDE=∠FOE=90°，∠CED=∠FEO，
∴∆CDE~∆FOE，
∴ CDFO=CEFE ，即 CD23=32310 ，解得：CD= 31010 ，
∴P，Q两点间距离的最小值为 31010 .
故答案是： 31010 .
【分析】先求出点P所在直线的解析式，再求出与点P所在直线平行的直线解析式，然后求出这两条直线间的距离，即可求解.
17.【答案】 －2≤m< −32 或 12
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2交于C，D两点，联立解方程：
{y=x2−2mx−2m−2y=−x−2
(x−2m)(x+1)=0
解得： x1=−1,x2=2m
∴抛物线与直线交点的横坐标为： −1,2m
又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数
∴得出在C、D之间恰有两个整数解
当 2m>−1 即 m>−12 时得出： 1<2m≤2 解得： 12
故答案为： −2≤m<−32 或 12
18.【答案】 ①②③⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①根据图象可知：
a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0．
∴①符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b2-4ac＞0，
4ac＜b2 ．
∴②符合题意；
③∵抛物线的对称轴x＜1，
即 −b2a<1 ，得2a+b＞0．
∴③符合题意；
④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），
∴抛物线的顶点的纵坐标不能为-2．
∴④不符合题意；
⑤根据抛物线的性质可知：
当x＜0时，y随x的增大而减小；
∴⑤符合题意；
⑥当x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0．
∴⑥不符合题意．
故答案为①②③⑤．
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x=1时y的值即可判断．
三、解答题
19.【答案】 解：⑴当x=20时，y=－10x＋500=－10×20+500=300，
300×(12－10)=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
⑵依题意得，W=(x－10)(－10x+500)=－10x2+600x－5000=－10(x－30)2+4000
∵a=－10＜0，∴当x=30时，W有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
⑶由题意得：－10x2＋600x－5000=3000，解得：x1=20，x2=40．
∵a=－10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，W≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，W≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=(12－10)×(－10x+500)
=－20x＋1000．
∵k=－20＜0．
∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【考点】二次函数的实际应用-销售问题，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y=3000代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
20.【答案】 解：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.
所以：这种手机平均每天的销售利润为：16×（2800-2500）=4800（元）；
（2）根据题意,得y=(2900-2500-x)(8+4×x50),
即y=-225x2+24x+3200；
（3）对于y=-225x2+24x+3200,
当x=-242×-225=150时,
y最大值=（2900-2500-150）（8+4×15050）=5000（元）
2900-150=2750（元）
所以,每台手机降价2750元时,商场每天销售这种手机的利润最大,最大利润是5000元．
【考点】二次函数的最值，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.即可求出每天利润；
（2）根据：利润=（每台实际售价﹣每台进价）×销售量,每台实际售价=2900﹣x,销售量=8+4×x50,列函数关系式；
（3）利用二次函数的顶点坐标公式,求函数的最大值．
21.【答案】 （1）y=(x−1)2+3
（2）45°；提示：过点 B 作 BQ⊥y 轴，垂足为 Q ，证 △ABQ∼△EBD ， BD 的斜率为 ∠ABD−∠DBE=∠DBQ=45°
（3）21+3774 ；提示：（焦点准线问题）作直线 y=114 ，证明点 K 到直线 y=114 的距离等于 KF ，点 A 到直线 y=114 的距离为 214 ，故三角形 AKF 的周长的最小值为 AF+214=21+3774 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）将D点（0，4）代入抛物线解析式求解即可；
（2）由中点坐标公式可得：点E（-1，5），则∠HBD=∠EBD ， 则∠ABH=∠ABD-∠DBE ， 进而求解；
（3）设点K（x，y），则KF2=（x-1）2+（y-134）2 ， 则KF=y-114 ， 即KF=HK，进而求解。
22.【答案】 解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c（b，c为常数）与x轴交于点（x1 ， 0）和（x2 ， 0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上，
∴ {1−b+c=0−9+3b+c=0 ，解得 {b=2c=3 ，
∴y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，
∴点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；
（Ⅱ）①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝ −(x−b2)2+b2+4c4 ，
∴点E的坐标为（ b2 ， b2+4c4 ），
∵顶点E在直线y＝x上，
∴ b2 ＝ b2+4c4 ，
∴c＝ 2b−b24 ；
②由①知， c=2b−b24=−14b2+12b=−14(b−1)2+14 ，
则点A的坐标为（0， −14(b−1)2+14 ），
∴当b＝1时，此时点A的位置最高，函数y＝﹣x2＋x＋ 14 ，
即在①的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是 y=−x2+x+14 ；
（Ⅲ）∵x1＝﹣1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点（x1 ， 0），
∴﹣1﹣b＋c＝0，
∴c＝1＋b，
∵点E的坐标为（ b2 ， b2+4c4 ），点A的坐标为（0，c），
∴E（ b2 ， (b+2)24 ），A（0，b＋1），
∴点E关于x轴的对称点E′（ b2 ，﹣ (b+2)24 ），
设过点A（0，b＋1）、P（1，0）的直线解析式为y＝kx＋t，
{t=b+1k+t=0 ，得 {k=−b−1t=b+1 ，
∴直线AP的解析式为y＝（﹣b﹣1）x＋（b＋1）＝﹣（b＋1）x＋（b＋1）＝（b＋1）（﹣x＋1），
∵当直线AP过点E′时，PA＋PE值最小，
∴﹣ (b+2)24 ＝（b＋1）（﹣ b2 ＋1），
化简得：b2﹣6b﹣8＝0，
解得：b1＝ 3+17 ，b2＝ 3−17
∵b＞0，
∴b＝ 3+17 ，
即b的值是3＋ 17 ．
【考点】二次函数-动态几何问题，二次函数图象与一元二次方程的综合应用，二次函数的其他应用
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上， 再利用待定系数法计算求解即可；
（Ⅱ）①先求出点E的坐标为（ b2 ， b2+4c4 ）， 再求出 b2 ＝ b2+4c4 ， 最后求解即可；
②先求出点A的坐标，再计算求解即可；
（Ⅲ）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求直线AP的解析式，最后计算求解即可。
23.【答案】 解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，如图（1）．由翻折可知：DO=AO=3，∠AOB=∠BOD=30°，∴∠DOE=30°．∴DE=32在Rt△COD中，由勾股定理，得OE=332∴D（332 ， 32）（2）在Rt△AOB中，AB=AO•tan30°=3×33=32 ， ∴B（32 ， 3）．∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B（32 ， 3），D（332 ， 32）两点，∴3a+3b+3=3274a+332b+3=32解得a=-23b=233∴此抛物线表达式为y=﹣23x2+233x+3．（3）存在符合条件的点P，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2）．∵E为抛物线y=﹣23x2+233x+3的顶点，∴E（32 ， 32）．设OB所在直线的表达式为y=kx，将点B（3 ， 3）代入，得k=3 ， ∴y=3x．∵P在射线OB上，∴P（x，3x），F（32 ， 32）．则H（x，72）G（x，32）．∵M在抛物线上，M（x，﹣23x2+233+3）．要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM．3x﹣72=32﹣（﹣23x2+233x+3），即﹣23x2+233x+3+3x=5．解得x1=23 ， x2=32 ． ∴P1点坐标为（23 ， 6），P2点坐标为（32 ， 32）与F重合，应舍去．∴P点坐标为（23 ， 6）．
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点D作DC⊥x轴于点E，如图（1），由轴对称得出OD=3，∠DOE=30°，故可以求出DE的值，由勾股定理就可以求出OE的值，从而可以求出D的坐标．
（2）通过解直角三角形AOB求出AB的值，求出点B的坐标，再将B、D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式．
（3）利用（2）的解析式，求出E点的坐标，利用待定系数法求出直线OB的解析式，从而求出F的坐标，从而求出EF，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2），由题意可得PH=GM从而求出点P的坐标．
24.【答案】 （1）解：∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，
解得x=3或﹣1，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）解：①如右图．
∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，﹣3）．
∵对称轴为直线x=1，
∴点E的坐标为（1，0）．
连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD= 2 ，CB=3 2 ，△BCD为直角三角形．
分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴ OCOQ = CDCB = 13 ，
∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．
∴直线CQ的解析式为y=﹣ 13 x﹣3，
直线BD的解析式为y=2x﹣6．
由方程组 {y=-13x-3y=2x-6 ，解得 {x=97y=-247 ．
∴点P的坐标为（ 97 ，﹣ 247 ）；
②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．
若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴ CNMN=BEDE=12 ，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF= 2 a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG= 322 a，
∴CG=FG﹣FC= 22 a，
∴M（ 322 a，﹣3+ 22 a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a= 729 ，
∴M（ 73 ，﹣ 209 ）；
若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴ CNMN = BEDE = 12 ，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF= 2 a，
∴MF=MN﹣NF=a，
∴MG=FG= 22 a，
∴CG=FG+FC= 322 a，
∴M（ 22 a，﹣3+ 322 a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5 2 ，
∴M（5，12）；
（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，
∴点M不存在．
综上可知，点M坐标为（ 73 ，﹣ 209 ）或（5，12）．
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）已知解析式，依据题意求出点的坐标即可。
（2）依据一元二次函数的性质解答。
25.【答案】 （1）解：如图1中， 在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°， ∴AB＝ AC2+BC2=162+122=20 ，
∵PQ∥AC，
∴∠A＝∠QPM，
∵∠C＝∠PMQ＝90°，
∴△ACB∽△PMQ，
∴ ACPM=BCMQ=ABPQ , ∴ 16PM=12MQ=205t , ∴PM＝4t，MQ＝3t，
当0＜t≤ 109 时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．
当 109 ＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．
（2）解：如图2中， 当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC， ∴ PQAC=PBAB , ∴ 5t16=20−5t20 ， 解得t＝ 169 ，
∴当点Q落在BC边上时t的值为 169 s．
（3）解：如图3﹣1中，当 109 ＜t≤ 8245 时，重叠部分是△DMK，S＝ 12 ×DM×MK＝ 12 ×（9t﹣10）× 34 （9t﹣10）＝ 2438 t2﹣ 1352 t+ 752 ．
如图3﹣2中，当 209 ≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝ 12 •PK•BK＝ 12 × 45 （20﹣5t）• 35 （20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．
（4）解：如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K． ∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG， ∴△QGK≌△QGM（AAS），
∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，
∴PG＝ 54 PK＝ 52 t，
∵PQ∥AC，
∴ PQAC=PGGA ， ∴ 5t16=52t5t+52t ，
∴t＝ 1615 ．
如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．
∵ 12 •AC•BC＝ 12 •AB•CG，
∴CG＝ AC·BCAB=16×1220=485 ，AG＝ AC2−CG2=162−(485)2=645 ，
∵∠CMG＝∠GCM＝45°，
∴CG＝GM＝ 485 ，
∴AM＝9t＝ 645+485 ，
解得t＝ 11245 ，
综上所述，满足条件的t的值为 1615 s或 11245 s．
【考点】三角形全等及其性质，角平分线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质，二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）分点M在线段AD上或点M在线段AD的延长线时两种情形分别求解．（2）当点Q落在BC上时，由PQ∥AC ， 可得 PQAC=PBAB ，由此构建方程即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3-1中，当 109 ＜t≤ 8245 时，重叠部分是△DMK ． ②如图3-2中，当 209 ≤t≤4时，重叠部分是△PBK ， 分别求解．（4）分两种情形：①如图4-1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G ， 作GK⊥PQ于K ． 利用全等三角形的性质，平行线分线段成比例定理，构建方程即可．②如图4-2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G ． 求出AM的长，构建方程即可解决问题．
26.【答案】 解：（1）在y=﹣x+3中，
令x=0，得y=3；令y=0，得x=3，
∴A（0，3），C（3，0）．
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴c=3-9+3b+c=0 ，
解得b=2c=3 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
当x=2时，y=﹣22+2×2+3=3，
∴点B（2，3）在抛物线上；
（2）∵A（0，3），B（2，3），
∴AO=BD=3，
∵AO⊥OC，BD⊥OC，
∴AO∥BD，
∴四边形AODB是平行四边形，
∵∠AOD=90°，
∴平行四边形AODB是矩形，
∴AB⊥AO．
设E（x，﹣x2+2x+3），
则S△EAB=12AB•[3﹣（﹣x2+2x+3）]=x2﹣2x，
S△EBD=12BD•（2﹣x）=32（2﹣x），
∵S△EAB=S△EBD ，
∴x2﹣2x=32（2﹣x），
解得x1=﹣32 ， x2=2（舍去），
∴点E的坐标为（﹣32 ， ﹣94）；
（3）存在P、Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．理由如下：
设点P的坐标为（x，﹣x+3），分两种情况：
①当AB为边时；
Ⅰ）如果四边形BAPQ为平行四边形，那么PQ∥AB∥x轴，且PQ=AB=2，
∴Q点坐标为（x+2，﹣x+3），
∵Q点在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴﹣x+3=﹣（x+2）2+2（x+2）+3，
整理得x2+x=0，
解得x1=﹣1，x2=0（舍去），
∴点P的坐标为（﹣1，4）；
Ⅱ）如果四边形BAQP为平行四边形，那么PQ∥AB∥x轴，且PQ=AB=2，
∴Q点坐标为（x﹣2，﹣x+3），
∵Q点在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴﹣x+3=﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）+3，
整理得x2﹣7x+8=0，
解得x1=7+172 ， x2=7-172 ，
∴点P的坐标为（7+172 ， ﹣7+172）或（7-172 ， 7-172）；
②当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，
∵A（0，3），B（2，3），
∴AB中点坐标为（1，3），
∵点P的坐标为（x，﹣x+3），
∴点Q的坐标为（2﹣x，x+3），
∵Q点在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴x+3=﹣（2﹣x）2+2（2﹣x）+3，
整理得x2﹣x=0，
解得x1=1，x2=0（舍去），
∴点P的坐标为（1，2）；
综上所述，符合条件的点P坐标为（﹣1，4）或（7+172 ， ﹣7+172）或（7-172 ， 7-172）或（1，2）．
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出直线y=﹣x+3与x轴交点C，与y轴交点A的坐标，再将A、C两点坐标代入y=﹣x2+bx+c，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将x=2代入，计算y的值，即可判断点B（2，3）是否在抛物线上；
（2）先由一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形AODB是矩形，则AB⊥AO．再设E（x，﹣x2+2x+3），根据三角形的面积公式得出S△EAB=12AB•[3﹣（﹣x2+2x+3）]=x2﹣2x，S△EBD=12BD•（2﹣x）=32（2﹣x），由S△EAB=S△EBD ， 列出方程x2﹣2x=32（2﹣x），解方程即可求出点E的坐标；
（3）设点P的坐标为（x，﹣x+3），以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，可分两种情况进行讨论：①当AB为边时；又分四边形BAPQ为平行四边形和四边形BAQP为平行四边形两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等用含x的代数式表示出Q点坐标，再将Q点坐标代入y=﹣x2+2x+3，列出方程，解方程求出点P的坐标；②当AB为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分得到Q点坐标，再将Q点坐标代入y=﹣x2+2x+3，列出方程，解方程求出点P的坐标．
27.【答案】 （1）证明：连接BE
∵CD与⊙B相切于点E∴BE⊥CD
设点D的坐标为（x，0），则BD=x－1
在△OCD和△EBD中，{∠COD=∠BED∠CDO=∠EDB ∴△OCD∽△EBD
∴ OCEB=CDBD即 21=CDx−1 ∴CD=2x－2 在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2即22+x2=（2x－2）2解得x1= 83 ，x2=0（舍去）
即点D的坐标为（ 83 ，0）
把C（0，2），D（ 83 ，0）代入y=ax2－2ax+c中得:
函数解析式为：y= −98 x2+ 94 x+2
（2）解：连接BE，CB，CB交OE于H∵CD与⊙O相切于E，CO⊥OB于O，BO为⊙O半径
∴CO与⊙O相切于O
∴BC⊥OE于点H ∴∠OCH+∠COH=∠BOH+∠COH=90°，
∴∠BOH=∠COH
即∠AOE=∠OCB ∴sin∠AOE= sin∠OCB= OBCB
在Rt△OCB中，∵OB=1，OC=2 由勾股定理得 BC=OB2+OC2 = 5
∴ sin∠AOE=15=55
（3）存在，理由如下： 连接DM，据题意有CM=t，OC=2，OD= 83 ，则OM=2-t∵MN//CD ∴∠ONM=∠ODC且S△QMN=S△DMN
∴tan∠ONM=tan∠ODC
∴ 2−tON=OCOD=283 ∴ON= 83−43t ∴ ND=83−(83−43t)=43t
∵S=S△QMN=S△DMN= 12ND·OM ∴S= 12×43t(2−t)=−23(t−1)2+23
∵点M在OC上运动 ∴ 0
∴当t=1时，S有最大值， 为23
【考点】二次函数的应用，平行线的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出BE⊥CD，设点D的坐标为（x ， 0），则BD=x－1，然后证出△OCD∽△EBD ，根据相似三角形对应边成比例得出OC∶EB=CD∶BD,即2∶1=CD∶x-1,从而得出CD=2x－2 ，在Rt△OCD中，根据勾股定理列出关于x的方程，求解得出x的值，得出D点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）连接BE ， CB ， CB交OE于H，根据切线的判定定理判断出CO与⊙O相切于O，根据切线长定理得出BC⊥OE于点H ，根据同角的余角相等得出 ∠BOH=∠COH，即∠AOE=∠OCB，根据等角的同名三角函数值相等得出sin∠AOE= sin∠OCB= O B ∶C B ，在Rt△OCB中，由勾股定理得出BC的长度，从而得出答案；
（3）连接DM ， 据题意有CM=t，OC=2，OD= 83 ， 则OM=2-t；根据二直线平行同位角相等得出∠ONM=∠ODC，同时两平行线间的距离相等，根据同底等高得出S△QMN=S△DMN ， 再根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ONM=tan∠ODC，根据三角函数的定义，从而列出方程，表示出ON的长度，进而表示出ND，根据S=S△QMN=S△DMN= 12 N D · O M，从而得出s与t之间的函数关系式；根据点M在OC上运动 故 0 < t < 2 ，S与t成二次函数关系中二次项的系数 − 23< 0，从而得出答案当t=1时，S有最大值， S 最 大 值 = 23。
28.【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=33 ， DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+33+3=9+33 ．
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．
∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，
∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，
∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．
∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，
∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；
易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423 ．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=32r20≤t≤1.5-36t2+23t-3321.5
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），
则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，
即∠BCB1=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，
若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），
∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，
即∠BCB1=75°，
∴α=75°．
【考点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】考查二次函数有关的动态几何问题。
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