2021年人教版数学八年级上册期末《乘法公式综合运用》专题培优题（含答案）

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2021年人教版数学八年级上册期末《乘法公式综合运用》专题培优题1.阅读:已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.解:2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24.你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.     2.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长.        3.观察下列等式：①1×5+4=32；②2×6+4=42；③3×7+4=52；…(1)按照上面的规律，写出第⑥个等式：　   　；(2)模仿上面的方法，写出下面等式的左边：　   　=502；(3)按照上面的规律，写出第n个等式，并证明其成立.         4.已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值.        5.已知化简(x2+px+8)(x2-3x+q)的结果中不含x2项和x3项.(1)求p，q的值.(2)x2-2px+3q是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由.           6.已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状.                  7. (1)将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.例如，求x2+4x+5的最小值.解：原式=x2+4x+4+1=(x+2)2+1∵(x+2)2≥0   ∴(x+2)2+1≥1∴当x=﹣2时，原式取得最小值是1请求出x2+6x﹣4的最小值.(2)非负性的含义是指大于或等于零.在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0.请根据非负算式的性质解答下题：已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6a+b2﹣8b+25+|c﹣5|=0，求△ABC的周长.(3)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac.试判断△ABC的形状.          8.阅读：已知a+b=﹣4，ab=3，求a2+b2的值.解：∵a+b=﹣4，ab=3，∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=(﹣4)2﹣2×3=10.请你根据上述解题思路解答下面问题：(1)已知a﹣b=﹣3，ab=﹣2，求(a+b)(a2﹣b2)的值.(2)已知a﹣c﹣b=﹣10，(a﹣b)•c=﹣12，求(a﹣b)2+c2的值.               9.先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.解：将“x＋y”看成整体，令x＋y=A，则原式=A2＋2A＋1=(A＋1)2.再将“A”还原，得原式=(x＋y＋1)2.上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：1＋2(x-y)＋(x-y)2=_______________；(2)因式分解：(a＋b)(a＋b-4)＋4；(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方.            10.根据题意，解决下列各问题:(1)已知a+b=3,ab=-2,求a2+b2和a2-ab+b2的值;(2)已知(x+y)2=1,(x-y)2=49,求x2+y2和xy的值;(3)已知a-b=1,a2+b2=25,求ab的值.                    11.阅读并完成下列各题：通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.【例】用简便方法计算995×1005.解：995×1005=(1000﹣5)(1000+5)①=10002﹣52②=999975.(1)例题求解过程中，第②步变形是利用　   　(填乘法公式的名称)；(2)用简便方法计算：①9×11×101×10 001；               ②(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1.          12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？                13.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)图1中阴影部分面积为　    　，图2中阴影部分面积为　    　，对照两个图形的面积可以验证　      　公式(填公式名称)请写出这个乘法公式　     　.(2)应用(1)中的公式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2=15，x+2y=3，求x﹣2y的值；②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1.      14.在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为(x﹣1)(x+1)(x+2)，当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920.(1)根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出三个)(2)若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码(只需一个即可)；(3)若多项式x3+(m﹣3n)x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值.               15.已知x-y=2，y-z=2，x＋z=4，求x2-z2的值.        16.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”(1)请说明28是否为“神秘数”；(2)下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由.①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”也是4的倍数.②小仁发现：2016是“神秘数”.提示：(2)中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小能发现”的解答计分.        17.阅读材料：若m2－2mn＋2n2－4n＋4=0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－4n＋4=0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－4n＋4)=0，∴(m－n)2＋(n－2)2=0，∵(m－n)2≥0，(n－2)2≥0，∴(m－n)2=0，(n－2)2=0，∴n=2，m=2.根据你的观察，探究下面的问题：(1)a2＋b2－6a－2b＋10=0，则a=________，b=________；(2)已知x2＋2y2－2xy＋8y＋16=0，求xy的值；(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－8b＋18=0，求△ABC的周长．        18.已知a=2027x+2026，b=2027x+2027，c=2027x+2028．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．          19.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成(x-60)2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了.此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=(x-60)2-144=(x-60)2-122=(x-48)(x-72).问题解决：(1)请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；(2)已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽.        20.中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数.同学们还记得我们最初接触的数就是“自然数”吧!在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“n喜数”.定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍(n为正整数)，我们就说这个自然数是一个“n喜数”.例如：24就是一个“4喜数”，因为24=4×(2+4)；25就不是一个“n喜数”因为25≠n(2+5).(1)判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；(2)试讨论是否存在“7喜数”若存在请写出来，若不存在请说明理由.       
参考答案1.解：原式=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab,当ab=3时,原式=-4×33+6×32-8×3=-108+54-24=-78. 2.解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20=0∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16=0∴(a﹣2)2+(b﹣4)2=0，又∵(a﹣2)2≥0，(b﹣4)2≥0∴a﹣2=0，b﹣4=0，∴a=2，b=4，∴△ABC的周长为a+b+c=2+4+3=9.答：△ABC的周长为9.3.解：(1)由题目中的式子可得，第⑥个等式：6×10+4=82，故答案为：6×10+4=82；(2)由题意可得，48×52+4=502，故答案为：48×52+4；(3)第n个等式是：n×(n+4)+4=(n+2)2，证明：∵n×(n+4)+4=n2+4n+4=(n+2)2，∴n×(n+4)+4=(n+2)2成立.4.解：∵x2+y2﹣4x+6y+13=(x﹣2)2+(y+3)2=0，∴x﹣2=0，y+3=0，即x=2，y=﹣3，则原式=(x﹣3y)2=112=121.5.解：(1)原式=x4+(-3+p)x3+(q-3p+8)x2+(pq-24)x+8q.∵结果中不含x2项和x3项，∴-3+p=0,q-3p+8=0,解得p=3,q=1.(2)x2-2px+3q不是完全平方式.理由如下：把p=3,q=1代入x2-2px+3q，得x2-2px+3q=x2-6x+3.∵x2-6x+9是完全平方式，∴x2-6x+3不是完全平方式.6.解：∵a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0(a﹣b)2+(b﹣c)2=0∴a﹣b=0且b﹣c=0即a=b=c，故该三角形是等边三角形.7.解：(1)x2+6x﹣4=x2+6x+9﹣9﹣4=(x+3)2﹣13，∵(x+3)2≥0∴(x+3)2﹣13≥﹣13∴当x=﹣3时，原式取得最小值是﹣13.(2)∵a2﹣6a+b2﹣8b+25+|c﹣5|=0，∴(a﹣3)2+(b﹣4)2+|c﹣5|=0，∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，∴a=3，b=4.c=5，∴△ABC的周长=3+4+5=12.(3)△ABC为等边三角形.理由如下：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc=0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ac﹣2ab﹣2bc=0，即a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形.8.解：原式=(a+b)(a+b)(a-b)=(a+b)2(a-b)=[(a-b)2+4ab](a-b)=-3.(2)已知a－c－b=－10，(a－b)c=－12，求(a－b)2＋c2的值.解：原式=[(a-b)-c]2+2(a-b)c=76.9.(1)(x-y＋1)2；(2)解：令A=a＋b，则原式变为A(A-4)＋4=A2-4A＋4=(A-2)2，故(a＋b)(a＋b-4)＋4=(a＋b-2)2.(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1=(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1=(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1=(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1=(n2＋3n＋1)2.∵n为正整数，∴n2＋3n＋1也为正整数，∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方.n10.解：(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×(-2)=13;a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3×(-2)=15.(2)∵(x+y)2=x2+y2+2xy=1,(x-y)2=x2+y2-2xy=49,即解得(3)∵a-b=1,∴(a-b)2=a2+b2-2ab=1.∵a2+b2=25,∴25-2ab=1,解得ab=12.11.解：(1)例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式；故答案为：平方差公式；(2)①9×11×101×10 001=(10﹣1)(10+1)×101×10 001=99×101×10 001=(100﹣1)(100+1)×10 001=9999×10 001=(10000﹣1)(10000+1)=99999999；②(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1.=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1=264﹣1+1=264.12.解：（1）找规律：，　　　　　　　 ，　　　　　　　，　　　　　　　，　　　　　　　……，所以和都是神秘数． （2），因此由这两个连续偶数和构造的神秘数是的倍数． （3）由（2）知，神秘数可以表示成，因为是奇数，因此神秘数是的倍数，但一定不是的倍数．另一方面，设两个连续奇数为和，则，即两个连续奇数的平方差是的倍数． 因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数． 13.解：(1)图1中阴影部分面积为a2﹣b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).故答案为：a2﹣b2，(a+b)(a﹣b)，平方差，a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).(2)①∵x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y)，∴15=3(x﹣2y)，∴x﹣2y=5；②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1=(264﹣1)(264+1)+1=2128﹣1+1=2128.14.解：(1)x3﹣xy2=x(x﹣y)(x+y)，当x=21，y=7时，x﹣y=14，x+y=28，可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；(2)由题意得：，解得xy=48，而x3y+xy3=xy(x2+y2)，所以可得数字密码为48100；(2)由题意得：x3+(m﹣3n)x2﹣nx﹣21=(x﹣3)(x+1)(x+7)，∵(x﹣3)(x+1)(x+7)=x3+5x2﹣17x﹣21，∴x3+(m﹣3n)x2﹣nx﹣21=x3+5x2﹣17x﹣21，∴，解得.故m、n的值分别是56、17.15.解：由x-y=2，y-z=2，得x-z=4.又∵x＋z=4，∴原式=(x＋z)(x-z)=16.16.解：(1)28是“神秘数”,理由如下：∵28=82-62∴28是“神秘数”(2)当选择①时，(2k＋2)2－(2k)2=(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)=4(2k＋1)， ∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. ②当选择②时，2016是“神秘数”是假命题,理由: (2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=8k+4,令8k+4=2016，得k=251.5,∵k为须整数,∴k=251.5不符合实际，舍去,∴201 6是“神秘数"错误.17.解：(1)∵a2＋b2－6a－2b＋10=0，∴(a2－6a＋9)＋(b2－2b＋1)=0，∴(a－3)2＋(b－1)2=0，∵(a－3)2≥0，(b－1)2≥0，∴a－3=0，b－1=0，∴a=3，b=1.故答案为：3　1.(2)∵x2＋2y2－2xy＋8y＋16=0，∴(x2－2xy＋y2)＋(y2＋8y＋16)=0，∴(x－y)2＋(y＋4)2=0，∵(x－y)2≥0，(y＋4)2≥0，∴x－y=0，y＋4=0，∴y=－4，x=－4，∴xy=16.(3)∵2a2＋b2－4a－8b＋18=0，∴(2a2－4a＋2)＋(b2－8b＋16)=0，∴2(a－1)2＋(b－4)2=0，∵(a－1)2≥0，(b－4)2≥0，∴a－1=0，b－4=0，∴a=1，b=4，∵a＋b>c，b－a<c，∴3＜c＜5，又∵a，b，c为正整数，∴c=4，∴△ABC周长为1＋4＋4=9. 18.解：∵a=2027x+2026，b=2027x+2027，c=2027x+2028，∴a﹣b=-1，b﹣c=-1，a﹣c=-2，则原式=0.5(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=0.5[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0.5×(1+1+4)=3．19.解：(1)=====(2) ∵ ==∴长为时这个长方形的宽为.20.解：(1)44不是一个“n喜数”，因为44≠n(4+4)，72是一个“8喜数”，因为72=8(2+7)；(2)设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，(a，b为1到9的自然数)，由定义可知：10b+a=7(a+b)化简得：b=2a因为a，b为1到9的自然数，∴a=1，b=2；a=2，b=4；a=3，b=6；a=4，b=8；∴“7喜数”有4个：21、42、63、84.