人教版数学九年级下册同步练习第27章 相似 习题课　相似三角形的性质与判定的综合应用

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第27章　相似
习题课　相似三角形的性质与判定的综合应用
课堂互动
一、用相似三角形求线段长
【方法指导】
(1)证明与要求的线段有关的三角形相似;
(2)利用相似三角形的对应边成比例,将已知线段和未知线段都放在比例式中,建立等量关系求出未知线段的长.
【例1】如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC，若AD＝2，AB＝6，求AC的长．

[对应训练]
1.【张家界中考】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G.
(1)求证：BF＝CF；
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．


2.【2021天津滨海新区期末】如图,F为四边形ABCD的边CD上一点, 连接AF并延长交BC的延长线于点E,已知∠D=∠DCE.
(1)求证:△ADF∽△ECF;
(2)若四边形ABCD为平行四边形,BC=6,AF=2EF,求CE的长.


3.【2020杭州中考】如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC.
(2)设AFFC=12.
①若BC=12,求线段BE的长.
②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.



二、用相似三角形求角度
【例2】如图，在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转得到△OC′D′.已知∠AOB＝40°，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，与BO交于点F.求∠AEB的度数．




[对应训练]
4.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.
(1)求证：△ADB∽△EAC；
(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．




三、用相似三角形求比值
【例3】如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△DCE＝( B )

A.1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．2∶3


[对应训练]
5.【2021连云港】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF＝3FE，则＝____．





6.如图，点E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G.
(1)写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；
(2)若BC＝2CE，求的值．







四、用相似三角形证明等积式
【方法指导】
(1)利用图中的相似三角形;
(2)作平行线,构造相似三角形或利用平行线分线段成比例;
(3)利用中间比.
【例4】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.
(1)求证：DE⊥BE；
(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.






[对应训练]
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F,G,且ADAC=DFCG.
(1)求证:AG平分∠BAC.
(2)求证:EFBG=DFCG.








8.如图,在菱形ABCD中,AB=AC,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=BF,CE与AF相交于点G.
(1)求证:∠FGC=∠B.
(2)延长CE与DA的延长线交于点H,求证:BE·CH=AF·AC.









9.【2021杭州】如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG.
(1)求证：△ABG∽△AFC；
(2)已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长(用含a，b的代数式表示)；
(3)已知点E在线段AF上(不与点A，点F重合)，点D在线段AE上(不与点A，点E重合)，∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE·GD.








课后练习
1.【2021·岳阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．

①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则DE的长为；
④＝；⑤若EF＝6，则CE＝2.24.






2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm.如图①，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t s(0＜t＜2)，连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值．
(2)如图②，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．






参考答案
课堂互动
一、用相似三角形求线段长
【方法指导】
(1)证明与要求的线段有关的三角形相似;
(2)利用相似三角形的对应边成比例,将已知线段和未知线段都放在比例式中,建立等量关系求出未知线段的长.
【例1】如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC，若AD＝2，AB＝6，求AC的长．
分析：由两角相等证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可.

解：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∵AD＝2，AB＝6，∴＝，∴AC2＝12，∴AC＝2
[对应训练]
1.【张家界中考】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G.
(1)求证：BF＝CF；
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．

解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝，∴BF＝AD＝BC，∴BF＝CF　
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝，解得FG＝2
2.【2021天津滨海新区期末】如图,F为四边形ABCD的边CD上一点, 连接AF并延长交BC的延长线于点E,已知∠D=∠DCE.
(1)求证:△ADF∽△ECF;
(2)若四边形ABCD为平行四边形,BC=6,AF=2EF,求CE的长.

解(1)∵∠D=∠DCE,∠AFD=∠EFC,
∴△ADF∽△ECF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=6.
由(1)知△ADF∽△ECF,∴EFAF=CEAD,
又AF=2EF,∴CEAD=CE6=12,∴CE=3.
3.【2020杭州中考】如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC.
(2)设AFFC=12.
①若BC=12,求线段BE的长.
②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.

解(1)因为DE∥AC,所以∠BED=∠C.
因为EF∥AB,所以∠B=∠FEC,
所以△BDE∽△EFC.
(2)①因为EF∥AB,所以BEEC=AFFC=12.
又BC=12,所以BE=13BC=4.
②因为EF∥AB,所以△EFC∽△BAC.
因为AFFC=12,所以CFAC=23.
设△EFC的面积为S1,△ABC的面积为S,则S1S=49.
因为S1=20,所以S=45,所以△ABC的面积是45.
二、用相似三角形求角度
【例2】如图，在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转得到△OC′D′.已知∠AOB＝40°，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，与BO交于点F.求∠AEB的度数．
分析：由旋转的性质可得OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′，由平行线分线段成比例得＝，可得＝，可证△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′＝∠OBD′，再由对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数．

解：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′，∵CD∥AB，∴＝，∴＝，∴＝，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′＝∠OBD′，又∠AFO＝∠BFE，∴∠AEB＝∠AOB＝40°
[对应训练]
4.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.
(1)求证：△ADB∽△EAC；
(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．

解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB2＝DB·CE，∴＝，∴＝，∴△ADB∽△EAC　
(2)∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∠D＝∠CAE，∵∠DAE＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAE，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC，∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°，∴∠D＋∠BAD＝70°，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC＝70°＋40°＝110°
三、用相似三角形求比值
【例3】如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△DCE＝( B )

A.1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．2∶3
分析：先根据题意判断出DE是△ABC的中位线，故可得出△ODE∽△OCB，由此可得出＝，进而可得出结论．
[对应训练]
5.【2021连云港】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF＝3FE，则＝____．

【答案】
6.如图，点E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G.
(1)写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；
(2)若BC＝2CE，求的值．

解：(1)①△ABE∽△GCE；②△ABE∽△GDA.
证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABE＝∠GCE，∠BAE＝∠CGE，∴△ABE∽△GCE；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∠GDA，AD∥BE，∴∠E＝∠DAG，∴△ABE∽△GDA　
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝，∵BC＝2CE，∴＝＝＝
四、用相似三角形证明等积式
【方法指导】
(1)利用图中的相似三角形;
(2)作平行线,构造相似三角形或利用平行线分线段成比例;
(3)利用中间比.
【例4】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.
(1)求证：DE⊥BE；
(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.
分析：(1)由平行四边形的性质得到BO＝OD，由等量代换推出OE＝OD，根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)根据等角的余角相等，得到∠CEO＝∠CDE，推出△BDE∽△DCE，即可得到结论．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵OE＝OB，∴OE＝OD，∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，∵∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，∴∠BEO＋∠DEO＝∠BED＝90°，∴DE⊥BE　
(2)∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE＝∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠CEO＝∠CDE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠CEO，∴∠DBE＝∠CDE，又∵∠BED＝∠DEC，∴△BDE∽△DCE，∴＝，∴BD·CE＝CD·DE
[对应训练]
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F,G,且ADAC=DFCG.
(1)求证:AG平分∠BAC.
(2)求证:EFBG=DFCG.

解(1)∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°,∠BAC+∠B+∠C=180°,∠AED=∠B,∴∠ADE=∠C,
又ADAC=DFCG,∴△ADF∽△ACG,
∴∠DAF=∠CAG,∴AG平分∠BAC.
(2)∵∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG,
∴△AEF∽△ABG,∴EFBG=AFAG.
由(1)知△ADF∽△ACG,∴DFCG=AFAG,
∴EFBG=DFCG.
8.如图,在菱形ABCD中,AB=AC,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=BF,CE与AF相交于点G.
(1)求证:∠FGC=∠B.
(2)延长CE与DA的延长线交于点H,求证:BE·CH=AF·AC.

解(1)∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,
又AB=AC,∴AB=BC=AC,
∴△ABC为等边三角形,∴∠B=∠BAC=60°.
在△ABF和△CAE中,AB=CA,∠B=∠CAE,BF=AE,
∴△ABF≌△CAE,∴∠BAF=∠ACE,
∴∠FGC=∠GAC+∠ACG=∠GAC+∠BAF=∠BAC=60°,
∴∠FGC=∠B.
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∴∠B=∠D,AD∥BC,∴∠BCE=∠H,
∴△BCE∽△DHC,∴BEDC=CEHC.
由(1)知△ABF≌△CAE,∴CE=AF.
∵CA=CB=CD,∴BEAC=AFHC,
∴BE·CH=AF·AC.
9.【2021杭州】如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG.
(1)求证：△ABG∽△AFC；
(2)已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长(用含a，b的代数式表示)；
(3)已知点E在线段AF上(不与点A，点F重合)，点D在线段AE上(不与点A，点E重合)，∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE·GD.

解：(1)∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠FAC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC　
(2)由(1)知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG－AF＝a－b　
(3)∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BAG＋∠ABD＝∠CBG＋∠CBE，即∠BDG＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE·GD
课后练习
1.【2021·岳阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．

①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则DE的长为；
④＝；⑤若EF＝6，则CE＝2.24.
【答案】②④⑤
【解析】解:①∵DE是的垂直平分线
∴∴AE>BC
故①错误
②∵DE是的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠A+∠AED=90°
∵
∴∠A+∠ABC=90°
∴
故②正确
③连接OC

∵DE是的垂直平分线
∴
∴∠EBD=∠A=40°
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-40°=50°
∴∠EBC=50°-40°=10°
∵∠EOC=2∠EBC
∴∠EOC=20°
∴
故③错误
④∵DE⊥AB，F是的切线
∴∠FEB=∠EDF=90°
又∠EFD=∠EFD
∴△EFD∽△BFE
∴
故④正确
⑤∵，
∴BF=
∵
∴
在Rt△EDB中，

∵DE是的垂直平分线
∴，AE=BE=8
∵在Rt△ADE和Rt△ACE中
∠A=∠A,∠ADE=∠ACB=90°
∴Rt△ADE∽Rt△ACB
∴
∴
∴AC=10.24
又AE=BE=8
∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24
故⑤正确
故答案为：①②④⑤
2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm.如图①，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t s(0＜t＜2)，连接PQ.

(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值．
解：由题意知，AB＝10 cm，BP＝5t cm，CQ＝4t cm.
∴BQ＝(8－4t)cm.当△PBQ∽△ABC时，有＝，即＝.解得t＝1.
当△QBP∽△ABC时，有＝，即＝，
解得t＝.∴当△BPQ与△ABC相似时，t＝1或t＝.
(2)如图②，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

解：过点P作PM⊥BC于点M，设AQ，CP交于点N，如图所示．
易知△BMP∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝.
∴PM＝3t cm，BM＝4t cm，∴CM＝(8－4t)cm.
∵AQ⊥PC，∴∠ANC＝90°，∴∠QAC＋∠NCA＝90°，
又∵∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠QAC＝∠PCM.
又∵∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，
∴＝，∴＝，解得t＝.