人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时作业

2.2基本不等式

【本节明细表】

基础巩固

1．若，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】∵（当且仅当n＝3时等号成立）故选：C．

2．已知，，，则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.

3．若实数，满足，则的最小值为______．

【答案】4

【解析】因为，

所以，当时取“”，

所以的最小值为4，故答案为4.

4．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　）

A．30 B．36 C．40 D．50

【答案】C

【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C.

5．已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．9 D．10

【答案】C

【解析】∵，，，∴，当且仅当

时，即时取“”.故答案选C

6．若，则“”是 “”的_____条件

【答案】充分不必要

【解析】当时，由基本不等式，可得，

当时，有，解得，充分性是成立的；

例如：当时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要条件.

7．已知，则的最小值是_______.

【答案】3

【解析】因为，所以，

所以（当且仅当时，等号成立）.

8．已知正实数满足，则的最小值为__________．

【答案】6

【解析】由题得,

所以，所以，

所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值为6.

当且仅当x=y=3时取等.故答案为：6

9．（I）证明：；

（II）正数，满足，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明：要证，只需证，

即证.由于，所以成立，

即成立.

（Ⅱ）解：

当，即，时，取最小值.

能力提升

10．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由基本不等式得，

当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.

由题意可得，即，解得或.

因此，实数的取值范围是，故选：B.

11．下列命题中：

①若，则的最大值为；

②当时，；

③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立.

其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)

【答案】①②

【解析】①若，则的最大值为

，正确

②当时，

，时等号成立，正确

③的最小值为，

取 错误

④当且仅当均为正数时，恒成立

均为负数时也成立.

故答案为① ②

12．已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？

【答案】80,280

【解析】设总费用为

则

当时等号成立，满足条件

故最经济的车速是，总费用为280.

素养达成

13．某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.

（1）用含的表达式表示池壁面积；

（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？

【答案】（1）；（2）当米时，最低造价是元.

【解析】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米

（2）设总造价为元，则：

化简得：

因为，当且仅当，即时取等号

即当米时，最低造价是元