高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用说课课件ppt

1．3.3　函数的最大(小)值与导数

1．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是

(　　)．

A．0  B.  C.  D.

解析　y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，

∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.

答案　B

2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为

(　　)．

A．0≤a<1   B．0<a<1

C．－1<a<1   D．0<a<

解析　∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，

又∵x∈(0,1)，∴0<a<1，故选B.

答案　B

3．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是

(　　)．

A．(a，b)  B．(a，c)  C．(b，c)  D．(a＋b，c)

解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知－1,1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系知1－1＝－，所以b＝0，故选A.

答案　A

4．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．

解析　y′＝1－2sin x＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.

答案　＋

5．函数f(x)＝sin x＋cos x在x∈的最大、最小值分别是________．

解析　f′(x)＝cos x－sin x＝0，即tan x＝1，

x＝kπ＋，(k∈Z)，

而x∈，当－＜x＜时，f′(x)＞0；

当＜x＜时，f′(x)＜0，

∴f是极大值．

又f＝，f＝－1，f＝1，

∴函数最大值为f＝，最小值为f＝－1.

答案　　－1

6．求函数f(x)＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值．

解　f′(x)＝5x4＋20x3＋15x2＝5x2(x＋3)(x＋1)，

由f′(x)＝0得x＝0或x＝－1或x＝－3(舍)，

列表：

又f(0)＝1，f(－1)＝0，右端点处f(4)＝2 625，

∴函数y＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值为2 625，最小值为0.

7．函数y＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是

(　　)．

A．－  B．－  C．－4  D．－

解析　y′＝x2＋2x－3(x∈[0,2])，令x2＋2x－3＝0，知x＝－3或x＝1为极值点．当x＝1时，ymin＝－，故选A.

答案　A

8．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为

(　　)．

A．－37  B．－29  C．－5  D．－11

解析　∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.

∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.

答案　A

9．函数f(x)＝，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．

解析　∵y′＝＝，

令y′＝0可得x＝1或－1.

又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，

∴最大值为2，最小值为－2.

答案　2　－2

10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．

解析　f′(x)＝3x2－3x，

令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.

∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，

f(1)＝－＋a，∴f(x)max＝a＝2.

∴f(x)min＝－＋a＝－.

答案　－

11．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解　(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.

令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，

∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．

(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

∴f(2)＞f(－2)．

于是有22＋a＝20，∴a＝－2.

∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.

∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．

又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，

∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，

∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即f(x)最小值为－7.

12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．

解　∵f(x)＝x2e－ax(a>0)，

∴f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．

令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，

得0<x<.

∴f(x)在(－∞，0)，上是减函数，

在上是增函数．

当0<<1，即a>2时，f(x)在(1,2)上是减函数，

∴f(x)max＝f(1)＝e－a.

当1≤≤2，即1≤a≤2时，

f(x)在上是增函数，

在上是减函数，

∴f(x)max＝f＝e－2.

当>2，即0<a<1时，f(x)在(1,2)上是增函数，

∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.

综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e－2a；

当1≤a≤2时，f(x)的最大值为e－2；

当a>2时，f(x)的最大值为e－a.