高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教案及反思

课程目标

学科素养

1. 理解幂函数的概念，会画幂函数的图象;

B.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；

C.能应用幂函数性质解决简单问题。



1.数学抽象：幂函数的概念；

2.逻辑推理：由五个特殊幂函数的图象归纳幂函数的图象与性质；

3.数学运算：求幂函数的解析式及比较大小；

4.直观想象：由幂函数的图象的幂函数的性质；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新，引入新课

   问题1：我们都学习过，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？

   （学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答）

同学1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。

同学2：这两个函数自变量位置不同:。

教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而是我们学习过的指数函数，对于这个函数我们将进一步分析。

二、探索新知

  探究一   幂函数概念

（一）实例观察，引入新课

 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 ，  P是W的函数   （y=x）

(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2  ， S是a的函数（y=x2）。

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 ， S是a的函数（y=x3）。

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 。 a是S的函数   。       （y=）

(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1    ，V是t的函数  。     （y=x-1）

问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?

学生反应：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。

【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.

（二）类比联想，探究新知

1.幂函数的定义：一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，ɑ　为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = xa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．

思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？

思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？

思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？

看看自变量x是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 。

【答案】（1）、（5）.

探究二  幂函数性质

对于幂函数，我们只讨论时的情况，

即：

1.思考：我们应如何研究幂函数呢？

作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质

2、在同一平面直角坐标系内作出幂函数

的图象：

3、性质：

例1.已知幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，），求这个函数的解析式。

解：设。因为幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，），

所以，所以，

所以。

例2.证明幂函数y=在[0，+∞)上是增函数

证明：

通过比较初中所学函数，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过具体实例，让学生观察函数具有的共同特征，归纳幂函数的概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，比较指数函数与幂函数的区别，进一步理解幂函数的概念及呈现形式的理解。提高学生分析问题、概括能力。

通过练习，进一步巩固幂函数的概念，提高学生解决问题的能力。

通过函数图象，归纳幂函数的性质，提高学生分析问题、归纳能力。

通过例题进一步理解幂函数的概念及单调性的证明方法，提高学生的解决问题的能力。

三、达标检测

1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)

A.    B．4    C.   D.

【解析】　设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，

∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝，

故选C.

【答案】　C

2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)

A．y＝x     B．y＝x－   C．y＝x     D．y＝x

【解析】　A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．

【答案】　D

3．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　)

A．1,3      B．－1,1    C．－1,3    D．－1,1,3

【解析】　当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.

【答案】　A

4．函数y＝x的图象是(　　)

【解析】　显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”说明函数是奇函数．同时当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.

【答案】　B

5．比较下列各组数的大小：

(1)－8－与－；   (2)－与－.

【解】　(1)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则>.

从而－8－<－.

(2)－＝－＝－，－＝－.

因为函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，

又>，所以－<－.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.

（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.

五、作业

习题3.3  1,2题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。